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何學中産生邏輯性的矛盾。
所以他們逆轉了歐幾裡得的假設。
洛巴契夫斯基假設，先是通過一個定點可畫出已知直線的兩條平行線。
他保留歐幾裡得的其他一切假設。
從這些假設中他演繹出一系列公理，而其中沒能發現任何矛盾。
從而他建構了一個新的幾何學，它的邏輯沒有任何錯誤，絲毫不劣于歐幾裡得的幾何學。
因此，由于他沒能發現任何矛盾，他證明了第五假設不可能還原至更簡單的公理。
并非這個證明令人驚慌。
但是當它的理性副産品迅速覆蓋了它以及數學領域中的每樣事物。
數學，這科學确定性的基礎突然不再确定了。
現在，不可動搖的真理在我們眼中有兩種互相矛盾的形象，對各種年紀的人而言，它們都是真的，不論他們喜好如何。
正是這一深遠危機的基本原則動搖了這個鍍金年代的科學家的自大。
我們怎麼知道這些幾何學公理中的哪一個是正确的？如果沒有任何基本原則可去分辨，那麼你就有了一整個承認邏輯性矛盾的數學。
但是一個承認内在邏輯性矛盾的數學根本就不是數學。
非歐幾裡得幾何學的最終效果不過隻是魔術師莫名其妙的咒語，其中的信念全然由信仰所維持着！當然，一旦門被打開，人類便不能再抱此期待，不可動搖的科學真理的矛盾系統不可能僅僅被限制為兩個。
一位叫黎曼（德國數學家，非歐幾裡德幾何學的創始人——譯者注）的德國人建立了另一個不可動搖的幾何系統，他不隻打擊了歐幾裡得的假設，而且也波及第一公理，即兩點之間有且隻有一條直線可以通過。
他的幾何學并無内在矛盾，隻是與洛巴契夫斯基幾何學及歐幾裡得幾何學不一緻。
根據相對論，黎曼幾何學最好地描述了我們所生活的世界。
在三叉鎮，路拐進一條狹窄深長的白錫岩峽谷，路邊有一些劉易斯與克拉克走過的洞-穴。
在布特的東面，我們爬上一條很長的階梯，經過了大陸分水嶺，然後下到一個溪谷裡。
過了一會兒，我們經過了阿耶孔達精煉廠的一排排廠房，繞進了阿耶孔達城，找到了一間有牛排和咖啡的好餐館。
吃過飯，我們再次出發，爬上長坡，來到松樹圍繞的湖畔，一些漁夫正在推小舟入水。
然後，路又一次經過松樹林蜿蜒而下，陽光照過來，我知道早晨即将結束。
我們經過菲利普堡來到了一片山谷中的草地。
前方的風變得更加暴烈，所以我減速到了五十五英裡。
然後我們經過了麥斯威勒。
到達會堂的時候我已經疲憊不堪，一心隻想着休息。
我們在路邊發現了一片教堂墓地，于是停下來休息。
風吹得更烈也更寒冷了，但是陽光還算溫暖。
我們把夾克和安全帽放在草地上，在教堂的下風處休息。
這裡寂寞而空曠，但是非常美麗。
當遠方有座高山或者哪怕隻是山丘，你就擁有了空間。
克裡斯把他的頭埋在夾克中試着睡去。
沒有了約翰夫婦，每一件事物都不同了——如此寂寞。
如果你不介意的話，我想現在就來談談肖陶擴，直至寂寞消失。
彭加列認為，要解決數學中真理是什麼的問題，我們應該先問問我們自己幾何公理的本質是什麼。
它們是像康德所說的先驗綜合判斷嗎？也就是說它們是否作為人的意識的固定部分，獨立于經驗而非由經驗創造？彭加列認為不是這樣。
如果是這樣，它們會以強大的力量強加于我們身上，從而使我們無法察覺相反的命題，或者我們會以它為基礎建立一個理論組織。
不會有非歐幾裡得幾何學。
我們應該就此下結論，說幾何學公理是實驗性的真理嗎？彭加列還是認為并非如此。
如果它們是，那麼當新的實驗資料進來時，它們會傾向于持續的變化和修正。
這似乎跟幾何學自身的整個本質相反。
彭加列下結論道，幾何學的公理是"傳統"，我們在所有可能的傳統中所做出的選擇是由實驗事實所指導的，但是它仍保有自由之身，并被避免所有矛盾的必要性所限制。
因此，也就是說，即使實驗規則決定了它們的被采納隻是近似的，假設仍然可以保持嚴密的真實。
換句話說，幾何學的公理不過是化裝過的定義。
然後，既已認同了幾何學公理的本質，他轉而考慮這個問題，歐幾裡得幾何學是真的還是黎曼幾何學是真的？他回答：這問題毫無意義。
這好像我們這麼問：是否英尺制是對的而常衡制是錯的？是否笛卡兒坐标是對的而極坐标是錯的？一個幾何學不可能比另一個更正确；它隻可能是更方便。
幾何學不是真實的，它隻是更先進的。
然後彭加列繼續驗證其他科學概念的傳統本質，例如空間與時間。
他告訴我們，測量這些實體時，沒有任何一種方式會比其他方式更真實；通常被采納者隻是更方便的。
我們對空間與時間的概念也隻是定義，是在它們處理事實的方便性基礎上所做出的選擇。
然而
所以他們逆轉了歐幾裡得的假設。
洛巴契夫斯基假設，先是通過一個定點可畫出已知直線的兩條平行線。
他保留歐幾裡得的其他一切假設。
從這些假設中他演繹出一系列公理，而其中沒能發現任何矛盾。
從而他建構了一個新的幾何學，它的邏輯沒有任何錯誤，絲毫不劣于歐幾裡得的幾何學。
因此，由于他沒能發現任何矛盾，他證明了第五假設不可能還原至更簡單的公理。
并非這個證明令人驚慌。
但是當它的理性副産品迅速覆蓋了它以及數學領域中的每樣事物。
數學，這科學确定性的基礎突然不再确定了。
現在，不可動搖的真理在我們眼中有兩種互相矛盾的形象，對各種年紀的人而言，它們都是真的，不論他們喜好如何。
正是這一深遠危機的基本原則動搖了這個鍍金年代的科學家的自大。
我們怎麼知道這些幾何學公理中的哪一個是正确的？如果沒有任何基本原則可去分辨，那麼你就有了一整個承認邏輯性矛盾的數學。
但是一個承認内在邏輯性矛盾的數學根本就不是數學。
非歐幾裡得幾何學的最終效果不過隻是魔術師莫名其妙的咒語，其中的信念全然由信仰所維持着！當然，一旦門被打開，人類便不能再抱此期待，不可動搖的科學真理的矛盾系統不可能僅僅被限制為兩個。
一位叫黎曼（德國數學家，非歐幾裡德幾何學的創始人——譯者注）的德國人建立了另一個不可動搖的幾何系統，他不隻打擊了歐幾裡得的假設，而且也波及第一公理，即兩點之間有且隻有一條直線可以通過。
他的幾何學并無内在矛盾，隻是與洛巴契夫斯基幾何學及歐幾裡得幾何學不一緻。
根據相對論，黎曼幾何學最好地描述了我們所生活的世界。
在三叉鎮，路拐進一條狹窄深長的白錫岩峽谷，路邊有一些劉易斯與克拉克走過的洞-穴。
在布特的東面，我們爬上一條很長的階梯，經過了大陸分水嶺，然後下到一個溪谷裡。
過了一會兒，我們經過了阿耶孔達精煉廠的一排排廠房，繞進了阿耶孔達城，找到了一間有牛排和咖啡的好餐館。
吃過飯，我們再次出發，爬上長坡，來到松樹圍繞的湖畔，一些漁夫正在推小舟入水。
然後，路又一次經過松樹林蜿蜒而下，陽光照過來，我知道早晨即将結束。
我們經過菲利普堡來到了一片山谷中的草地。
前方的風變得更加暴烈，所以我減速到了五十五英裡。
然後我們經過了麥斯威勒。
到達會堂的時候我已經疲憊不堪，一心隻想着休息。
我們在路邊發現了一片教堂墓地，于是停下來休息。
風吹得更烈也更寒冷了，但是陽光還算溫暖。
我們把夾克和安全帽放在草地上，在教堂的下風處休息。
這裡寂寞而空曠，但是非常美麗。
當遠方有座高山或者哪怕隻是山丘，你就擁有了空間。
克裡斯把他的頭埋在夾克中試着睡去。
沒有了約翰夫婦，每一件事物都不同了——如此寂寞。
如果你不介意的話，我想現在就來談談肖陶擴，直至寂寞消失。
彭加列認為，要解決數學中真理是什麼的問題，我們應該先問問我們自己幾何公理的本質是什麼。
它們是像康德所說的先驗綜合判斷嗎？也就是說它們是否作為人的意識的固定部分，獨立于經驗而非由經驗創造？彭加列認為不是這樣。
如果是這樣，它們會以強大的力量強加于我們身上，從而使我們無法察覺相反的命題，或者我們會以它為基礎建立一個理論組織。
不會有非歐幾裡得幾何學。
我們應該就此下結論，說幾何學公理是實驗性的真理嗎？彭加列還是認為并非如此。
如果它們是，那麼當新的實驗資料進來時，它們會傾向于持續的變化和修正。
這似乎跟幾何學自身的整個本質相反。
彭加列下結論道，幾何學的公理是"傳統"，我們在所有可能的傳統中所做出的選擇是由實驗事實所指導的，但是它仍保有自由之身，并被避免所有矛盾的必要性所限制。
因此，也就是說，即使實驗規則決定了它們的被采納隻是近似的，假設仍然可以保持嚴密的真實。
換句話說，幾何學的公理不過是化裝過的定義。
然後，既已認同了幾何學公理的本質，他轉而考慮這個問題，歐幾裡得幾何學是真的還是黎曼幾何學是真的？他回答：這問題毫無意義。
這好像我們這麼問：是否英尺制是對的而常衡制是錯的？是否笛卡兒坐标是對的而極坐标是錯的？一個幾何學不可能比另一個更正确；它隻可能是更方便。
幾何學不是真實的，它隻是更先進的。
然後彭加列繼續驗證其他科學概念的傳統本質，例如空間與時間。
他告訴我們，測量這些實體時，沒有任何一種方式會比其他方式更真實；通常被采納者隻是更方便的。
我們對空間與時間的概念也隻是定義，是在它們處理事實的方便性基礎上所做出的選擇。
然而
