律呂闡微卷三

真大呂哉惟我 聖祖仁皇帝誨谕臣工之學律者特?線與線體與體之比例不同一條正所以破前人圍徑皆同之謬説也其言加減八倍而後應者借立方體積相去八倍言之若律管容積加減四倍即應也載堉雲長短廣狹皆有一定之理一定之數此語誠然先儒算學不精格物未至是以前志之猶近是者不能?明後人之立謬説者遂為蔽惑耳 載堉言置黃鐘倍律九而一以為外周用?求句股術得其内周此算術仍未精宻後詳考訂正之算律須求真數不可有毫厘之差也 新書言空圍當有九方分非也昔人明言周言圍不得以周圍為方幂如言方幂則黃鐘不得有九方分新法算黃鐘面幂九分八厘一毫七絲有竒者橫黍尺之分厘毫絲也以斜黍九十分者約之隻得八分八厘三毫五絲有竒耳其雲圍十分三厘八毫徑三分四厘六毫者圍三徑一之謬法也如圍十分三厘八毫則徑隻有三分三厘二毫如徑三分四厘六毫則圍有十一分零七毫有竒矣又以徑自乘為方積四分取三為圓積以求合于九方分此又圓田求積之粗率不可用之以算律管也夫徑三分四厘六毫者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故擴其圍徑以就之當時用上黨羊頭山黍以三等篩篩之而取其中則黍亦可遷就矣要之黍非真黍律非真律而算亦非真算蔡氏猶仍其誤豈古人有宻率載在史志者竟未嘗深究耶 周徑幂積密率 按平圓周徑幂積可互相求舊雲周三徑一又以方積四分之三為圓積皆疎舛之率不可承用者也欲算各律之外周内周外徑内徑及空圍内之面幂實積須求最宻之率方凖古之算家祖沖之為最其割圓之法用綴術漸次求之得其周徑之率攷之隋書律志祖氏原有三率一雲徑七周二十二者約率也一雲徑一百一十三周三百五十五者密率也然約率則強宻率猶稍弱仍有最宻之率則徑一周三一四一五九二六五是也葢三一四一五九二七為赢限三一四一五九二六為朒限正數在赢朒二限之間末位約之為五三一四一五九二六五共得九位亦可以為算周徑之用矣周徑相乘得七八五三九八一六二五為平幂或以半徑乘半周亦得平幂此最宻之率也試借西人八線表驗之 西人分周天為三百六十度一度又析為六十分是分大圓為二萬一千六百邊也八線各有相當正?與餘割相乗與半徑全數自乘等積查表一分之餘割線三四三七七四六八二因此求得一分之正?二九○八八八二○四五○一以二萬一千六百折半為一萬○八百乗之得三一四一五九二六○八六一八正?是直線圓周是曲線幾與之等而曲者必稍赢是以比圓周稍朒焉故徑一則周三一四一五九二六五為最宻之率宜用之 朱載堉宻率法雲圓周四十容方九句股求?數可知遂以此為求徑率求周求積亦如之謂圓周四十寸者内容方九寸九寸各自乘并得一百六十二寸開方得斜?為圓徑也今按此法猶未宻正法圓周三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一葢圓周四十則容方不啻九若容方九則圓周不及四十載堉以此率求諸律周徑幂積惟徑無差若周幂積四位以後稍有嬴餘不得為真數矣數不真确不可載之于書故今依祖氏法推算 先求三十六律通長真數 載堉雲黃鐘倍律通長二尺容黍二合稱重二兩律度量衡無非倍者此自然全數也故算法皆從倍律起若夫正律于度雖足于量于衡則皆不足隻容半合隻重半兩比諸倍律似非自然全數故算法不從正律起亦不從半律起倍律正律半律各有十二共為三十六律 按諸律通長已見前篇其以次疊求之法已見第二卷茲不再述 次求三十六律外徑内徑 按載堉之法先求周今易之先求徑六陽律之外内徑有與他律通長相應退一位即得者不必求?一位者十分之一也開列如左 蕤賔正律通長退一位即黃鐘倍律外徑