勾股義

明　徐光啟　撰 勾股即三邊直角形也底線為句底上之垂線為股對直角邊為?勾股上兩直角方形并與?上直角方形等故句三股四則?必五【一卷四七注】從此可以勾股求?句?求股股?求句【一卷四七注】可以求勾股中容方容圓可以各較求句求股求?可以各和求句求股求?可以大小兩勾股互相求可以立表求髙深廣逺以通勾股之窮可以二表四表求極髙深極廣逺以通立表之窮其大小相求及立表諸法測量法義所論著畧備矣勾股自相求以至容方容圓各和各較相求者舊九章中亦有之第能言其法不能言其義也所立諸法蕪陋不堪讀門人孫初陽氏删為正法十五條稍簡明矣餘因各為論譔其義使夫精于數學者覽圖誦說庶或為之解頥 第一題 勾股求? 法曰甲乙股四乙丙句三求?以股自之得十六句自之得九并得二十五為實開方得甲丙?五 第二題 句?求股 法曰如前圖乙丙句三自之得九甲丙?五自之得二十五相減得較十六開方得甲乙股四 第三題 股?求句 法曰如前圖甲乙股四自之得十六甲丙?五自之得二十五相減得較九開方得乙丙句三 巳上三論俱見一卷四十七題【凡言某卷某題者皆引幾何原本為證下同】 第四題 勾股求容方 法曰甲乙股三十六乙丙句二十 七求容方以勾股相乗為實并句 股得甲戊六十三為法除之得容 方辛乙乙癸各邊俱一十五四二八 論曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得六十三為法即成甲戊線除實得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形與甲乙丙丁形等【六卷十六】而巳庚邊截乙丙句于癸甲丙?于壬即成乙辛壬癸滿勾股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙【六卷十五】分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也【乙丙乙戊元等】又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙【六卷四】更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿勾股之直角方形【六卷十五增題】又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊巳各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊巳亦各與方形邊等則辛乙癸壬為直角方形 第五題 餘句餘股求容方求句求股 法曰甲丁餘股七百五十戊丙餘句 三十求丁乙戊巳容方邊以丙戊甲 丁相乘得二萬二千五百為實開方 得容方乙丁丁巳各邊俱一百五十 加餘股得股九百加餘句得句一百八十 論曰甲丁戊丙相乘為實即成巳壬辛庚直角形與丁乙戊巳為甲丙角線形内之兩餘方形等【一卷四三】而壬巳與巳戊偕丁巳與巳庚為互相視之邊【六卷十四】故巳壬辛庚之實即丁乙戊巳之實開方得丁乙戊巳直角方形邊 又論曰甲丁與丁巳既若巳戊與戊丙【六卷四之系】即方形邊當為甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增題】今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之數其法以前率比後率為二十五倍大之比例二十五開方得五則中率當為五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十則方形邊一百五十為甲丁丙戊之中率【六卷界說五】 第六題 容方與餘句求餘股與餘股求餘句 法曰容方乙丁丁巳各邊俱一百五 十戊丙餘句三十求甲丁餘股以容 方邊自之為實以餘句為法除之得 甲丁餘股七百五十以容方與餘股求餘句法同論曰如上論兩餘方形等實故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁 又論曰方形邊既為甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增題】即方形邊自乘為實以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙【六卷十七】 第七題 勾股求容圓 法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圓以勾股相乘得一萬九千二百倍之得三萬八千四百為實 别以勾股求 ?得甲丙? 六百八十【本篇 一】并勾股? 為法除實得 容圓徑乙子 二百四十 論曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之為實即丙丁戊己直角形求得甲丙?幷勾股得一千六百于甲乙線引長之截乙庚與句等庚辛與?等得甲辛為?和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊巳形等【六卷十六】而壬癸邊截乙丙句于子次從子作子醜寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑曷名為容圓徑也謂于甲乙丙三邊直角形内作一圜其甲丙?截子醜寅乙直角方形之卯辰線與乙子子醜醜寅寅乙諸邊皆為切圜線也則何以顯此五邊之皆為切圜線乎試于甲乙丙形上複作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲