測量異同
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明 徐光啟 撰
九章算法勾股篇中故有用表用矩尺測量數條與今譯測量法義相較其法畧同其義全阙學者不能識其所繇既具新論以攷舊文如視掌矣今悉存諸法對題胪列推求同異以竢讨論其舊篇所有今譯所無者仍補論一則共為測量異同六首如左
第一題【與前篇第四題同】
以景測髙
欲測甲乙之髙其全景乙丙長五丈立表于戊為丁戊髙一丈表景戊丙長一丈二尺五寸以表與全景相乗得五萬寸為實以表景百二十五寸為法除之得甲乙髙四
丈
此舊法與今譯同
第二題【與前篇第十題同】
以表測髙
欲測甲乙之髙去乙二十五尺立表
于丙為丁丙高一丈卻後五尺立于
戊使目在巳戊至巳高四尺視表末
丁與甲為一直線次以丁丙表髙十尺減目至足丁辛四尺得表目之較辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺為實以丙戊五尺為法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺
此舊法以甲壬丁為大三角形以丁辛巳為小三角形今譯以甲庚巳為大三角形丁辛巳為小三角形其實同法同論何者甲壬與壬丁若甲庚與庚巳也【六卷四】
第三題【與前篇第八題同】
以表測深
甲乙丙丁井欲測深其徑甲乙五尺立一表于井口
為戊甲高五尺從戊視丙截甲乙徑
于巳甲至巳得四寸次以井徑五尺
減甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸為實以甲巳四寸為法除之得井深五丈七尺五寸
此舊法以戊甲巳為小三角形巳乙丙為大三角形今譯當以戊甲巳為小三角形戊丁丙為大三角形其實同法同論何者戊丁與丁丙若丙乙與乙巳也【一卷三十四可推】
第四題【與前篇第十題後法同】
以重表兼測無遠之高無髙之逺
欲于戊測甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至則用重表法先于丙立丁丙表髙十尺卻後五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺視表末丁與甲為一直線次從前表卻後十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺
卻後八尺立于子去壬八尺其目在醜醜子亦高四尺從醜視癸甲亦一直線次以表髙十尺減足至目四尺得表目較癸辛或丁寅六尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺為實以兩測所得巳寅醜辛相減之較卯辛三尺【此較舊名景差今名兩測較】為法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以兩測所得之小率丙戊五尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺為實以卯辛三尺為法除之即得乙丙逺二十五尺
此舊法測髙以癸辛或丁寅與辛卯偕甲辰與壬等丙之丁癸為同理之比例今譯以癸辛或丁寅與辛卯偕甲庚與等戊子之巳醜為同理之比例【舊用壬丙表間也今用戊子距較也】其實同法同論何者甲辰與辰丁若甲庚與庚巳也辰丁與丁癸若庚巳與己醜也【六卷四】平之
則甲辰與丁癸若甲庚與己醜也
補論曰舊法以重表測逺則卯辛與等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁與等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛醜為等角形【六卷三十二】即醜辛癸辰為相似邊【六卷四】甲辰丁丁寅巳為等角形即巳寅丁辰為相似邊是醜辛與癸辰若巳寅與丁辰也【六卷四】更之則醜辛與巳寅若癸辰與丁辰也今于醜辛減巳寅之度存卯辛于癸辰減丁辰存癸丁則卯辛與巳寅若癸丁與丁辰也【所減之比例等所存之比例亦等】
第五題【與前篇第十四題同】
以四表測逺
欲測甲乙之逺于乙上立一表次于丙巳丁上各立一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙
二表與甲為一直線次于已
表之右戊上視丙表與甲為
一直線戊巳相去三寸次以
乙丙乙丁相乗得一萬寸為實以戊巳三寸為法除之得甲乙髙三十三丈三分丈之一
此舊法與今譯同
第六題【與前篇第十題後法同理】
以重矩兼測無廣之深無深之廣【稍改舊法以從今論】
有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂線立戊甲巳句股矩尺甲巳句長六尺從股尺上視句末巳與谷底丙為一直線而遇戊甲股于庚庚甲髙五尺次于甲上依垂線取壬壬去甲一丈五尺于壬上依垂線更立一辛壬癸句股矩尺壬癸句亦長六尺從股尺上視句末癸與谷底丙為一直線而遇辛壬股于辛辛壬
髙八尺次以前股所得庚甲五尺與兩句間壬甲十五尺相乗得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺若以句六尺與兩句間十五尺相乗得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺測深論作癸巳醜直線與本篇第四題重表測逺補論同測逺論與前篇第十題重表測髙論同
九章算法勾股篇中故有用表用矩尺測量數條與今譯測量法義相較其法畧同其義全阙學者不能識其所繇既具新論以攷舊文如視掌矣今悉存諸法對題胪列推求同異以竢讨論其舊篇所有今譯所無者仍補論一則共為測量異同六首如左
第一題【與前篇第四題同】
以景測髙
欲測甲乙之髙其全景乙丙長五丈立表于戊為丁戊髙一丈表景戊丙長一丈二尺五寸以表與全景相乗得五萬寸為實以表景百二十五寸為法除之得甲乙髙四
丈
此舊法與今譯同
第二題【與前篇第十題同】
以表測髙
欲測甲乙之髙去乙二十五尺立表
于丙為丁丙高一丈卻後五尺立于
戊使目在巳戊至巳高四尺視表末
丁與甲為一直線次以丁丙表髙十尺減目至足丁辛四尺得表目之較辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺為實以丙戊五尺為法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺
此舊法以甲壬丁為大三角形以丁辛巳為小三角形今譯以甲庚巳為大三角形丁辛巳為小三角形其實同法同論何者甲壬與壬丁若甲庚與庚巳也【六卷四】
第三題【與前篇第八題同】
以表測深
甲乙丙丁井欲測深其徑甲乙五尺立一表于井口
為戊甲高五尺從戊視丙截甲乙徑
于巳甲至巳得四寸次以井徑五尺
減甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸為實以甲巳四寸為法除之得井深五丈七尺五寸
此舊法以戊甲巳為小三角形巳乙丙為大三角形今譯當以戊甲巳為小三角形戊丁丙為大三角形其實同法同論何者戊丁與丁丙若丙乙與乙巳也【一卷三十四可推】
第四題【與前篇第十題後法同】
以重表兼測無遠之高無髙之逺
欲于戊測甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至則用重表法先于丙立丁丙表髙十尺卻後五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺視表末丁與甲為一直線次從前表卻後十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺
卻後八尺立于子去壬八尺其目在醜醜子亦高四尺從醜視癸甲亦一直線次以表髙十尺減足至目四尺得表目較癸辛或丁寅六尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺為實以兩測所得巳寅醜辛相減之較卯辛三尺【此較舊名景差今名兩測較】為法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以兩測所得之小率丙戊五尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺為實以卯辛三尺為法除之即得乙丙逺二十五尺
此舊法測髙以癸辛或丁寅與辛卯偕甲辰與壬等丙之丁癸為同理之比例今譯以癸辛或丁寅與辛卯偕甲庚與等戊子之巳醜為同理之比例【舊用壬丙表間也今用戊子距較也】其實同法同論何者甲辰與辰丁若甲庚與庚巳也辰丁與丁癸若庚巳與己醜也【六卷四】平之
則甲辰與丁癸若甲庚與己醜也
補論曰舊法以重表測逺則卯辛與等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁與等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛醜為等角形【六卷三十二】即醜辛癸辰為相似邊【六卷四】甲辰丁丁寅巳為等角形即巳寅丁辰為相似邊是醜辛與癸辰若巳寅與丁辰也【六卷四】更之則醜辛與巳寅若癸辰與丁辰也今于醜辛減巳寅之度存卯辛于癸辰減丁辰存癸丁則卯辛與巳寅若癸丁與丁辰也【所減之比例等所存之比例亦等】
第五題【與前篇第十四題同】
以四表測逺
欲測甲乙之逺于乙上立一表次于丙巳丁上各立一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙
二表與甲為一直線次于已
表之右戊上視丙表與甲為
一直線戊巳相去三寸次以
乙丙乙丁相乗得一萬寸為實以戊巳三寸為法除之得甲乙髙三十三丈三分丈之一
此舊法與今譯同
第六題【與前篇第十題後法同理】
以重矩兼測無廣之深無深之廣【稍改舊法以從今論】
有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂線立戊甲巳句股矩尺甲巳句長六尺從股尺上視句末巳與谷底丙為一直線而遇戊甲股于庚庚甲髙五尺次于甲上依垂線取壬壬去甲一丈五尺于壬上依垂線更立一辛壬癸句股矩尺壬癸句亦長六尺從股尺上視句末癸與谷底丙為一直線而遇辛壬股于辛辛壬
髙八尺次以前股所得庚甲五尺與兩句間壬甲十五尺相乗得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺若以句六尺與兩句間十五尺相乗得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺測深論作癸巳醜直線與本篇第四題重表測逺補論同測逺論與前篇第十題重表測髙論同