測圓海鏡分類釋術卷四

元　李　冶　撰 明　顧應祥　釋術 通勾與别?測望一 圓城南門之南有樹甲從城外西北幹隅東行三百二十步乙出西門南行望樹及甲與城相叅直乃斜行二百五十五步至樹下問城徑 釋曰此以通勾上高?立法測望甲東行通勾也乙斜行乃天之日上高?也乙從西門南行四百八十步為邊股樹在南門外一百三十五步為明股術曰二行相乘又以半甲東行乘之得一千三百○五萬六千為立方實　二行相乘得八萬一千六百半甲東行乘甲東行得五萬一千二百相并得一十三萬二千八百為益從甲東行三百二十為減從廉減從開立方法除之得半徑 帶從以廉減從開立方曰布實于左從于右别置減從廉　約初商得一百　置一于左上為法置一乘從廉得三萬二千　以減從方餘一十○○八百置一自之得一萬并餘從共一十一萬○八百為下法與上法相乘除實一千一百○八萬餘一百九十七萬六千　倍減廉得六萬四千三因隅法得三萬為方法　三因初商得三百為廉法　約次商得二十　置一于左次為上法置一乘減廉得六千四百并倍廉共七萬○四百以減原從餘六萬二千四百　置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法并方廉隅共三萬六千四百帶餘從共九萬八千八百為下法與上法相乘除實盡得半徑一百二十 後凡言帶從以廉減從開立方法者仿此 甲從城外西北幹隅東行三百二十步而立乙出南門直行不知步數望見甲與城相叅直遂斜行四百二十五步與乙相防問城徑 釋曰此以通勾底?立法測望甲東行通勾也乙自南門外斜行就甲為底?乃日之地也 術曰二行相減餘一百○五為通勾底?差以乘通勾得三萬三千六百　又以半通勾乘之得五百三十七萬六千為立方實　半通勾乘通勾得五萬一千二百與差乘通勾之數相減餘一萬七千六百為從方　倍東行得六百四十步為益廉作帶從減益廉開立方法除之 帶從減益廉開立方法見三卷【明勾邊股下】 圓城南門外有槐樹一株東門外有栁樹一株兩樹斜相距二百八十九步甲從城外西北隅向東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑 釋曰此以通勾皇極?立法測望甲東行通勾也兩樹斜相距皇極?也原法先求出皇極勾即栁至城心步後以勾?求股以皇極勾股求容圓即是術曰通勾與皇極?相乘得九萬二千四百八十自之得八十五億五千二百五十五萬○四百為三乘方實　皇極?自乗得八萬三千五百二十一為皇極?筭以通勾乘之得二千六百七十二萬六千七百二十倍之得五千三百四十五萬三千四百四十為從方　倍通勾皇極?相乘之數得一十八萬四千九百六十為第一從廉　倍皇極?得五百七十八為第二益廉　以二為隅筭作帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方法除之得一百三十六為皇極勾求城徑以皇極勾?求皇極股二百五十五　勾股相乘倍為實以?除之即得容圓全徑【勾?求股見一卷】帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方積為實　列從方從一廉從二益廉約商首一位得一百置一于左上為法　置一自之以乘益廉得五百七十八萬　置一自乘再乘以隅筭因之得二百萬為隅法益廉共七百七十八萬與上法相乘得七億七千八百萬為益實添入積内共九十三億三千○五十五萬○四百為通實置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從并入從方共七千一百九十四萬九千四百四十為下法與上法相乘除實七十一億九千四百九十四萬四千餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實　四因隅法得八百萬為方法　初商自之六因又以隅筭因之得一十二萬為上廉　初商四之隅因得八百為下廉次商三十置一于左次為上法　倍初商加次商得二百三十并初次商為一百三十相乘得二萬九千九百又加初商自之一萬共三萬九千九百以乘從二益廉得二千三百○六萬二千二百為益廉之實　置一乘上廉得三百六十萬　置一自之得九百以乘下廉得七十二萬　置一自乘再乘得二萬七千隅因得五萬四千為隅法并方廉隅共一千二百三十七萬四千為益隅之實與益廉之實相并得三千五百四十三萬六千二百為益積之法與上次法相乘得一十○億六千三百○八萬六千為益積之實添入餘實共三十一億九千八百六十九萬二千四百為通實　倍初商加次商得二百三十　以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從并入從方共九千五百九十九萬四千二百四十為下法　與上次法相乘除實二十八億七千九百八十二萬七千二百尚餘三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實　二因上廉得七百二十萬　三因下廉得二百一十六萬　四因隅法得二十一萬六千并入方法共一千七百五十七萬六千為方法　并初次商自之　又六因得一十○萬一千四百以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉　并初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十為下廉　三商得六　置一于左上為法　倍初次商加三商得二百六十六　并初次商加三商得一百三十六　相乘得三萬六千一百七十六又以初次商并自之得一萬六千九百加之共五萬三千○七十六以乘從二益廉得三千○六十七萬