弧矢算術

明　顧應祥　撰 圓徑與截矢求截? 術曰半徑為?半徑減矢為股各自乗相減餘為勾算平方開之得勾即半截? 又曰以矢減徑以矢乗之即半截?算 圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截? 答曰六寸 術曰半徑自之得二十五　半徑減矢自之得一十六寸相減餘九平方開之得三倍之即截? 又曰圓徑自之得一百為?算圓徑減倍矢自之得六十四為股算相減餘三十六為勾算平方開之得全? 圓徑十三步截矢闊四歩問截? 答曰十二歩 術曰半徑算四十二步【二五】減矢半徑算六歩【二五】相減餘三十六歩為勾算 又曰全徑算一百六十九　減倍矢徑算二十五相減餘一百四十四平方開之得全截? 圓徑九十歩截矢九歩問截? 答曰五十四步 術同 圓材徑二尺五寸鋸闆欲厚七寸問闊幾何 答曰闆闊二尺四寸 術曰圓徑為?自之得六十二尺五寸　闆厚為勾自之得四尺九寸相減得五十七尺六寸為股算平方開之 【阙】 商得 一寸　置一于左上為法　置一乗上亷仍得一十四寸　置一隅因得五以減下亷餘三十五寸　置一自之以乗下亷仍得三十五寸并上亷得四十九為下法 圓徑九十歩從旁截積二百八十三歩半問截矢答曰矢九歩 術曰倍積自之得三十二萬一千四百八十九歩為正實　四因積得一千一百三十四為上亷　四因徑得三百六十為下亷　五為負隅　商得九　置一于左上為法　置一乗上亷得一萬○二百○六置一隅因得四十五以減下亷餘三百一十五　置一自之以乗餘下亷得二萬五千五百一十五并上亷共二萬五千七百二十一為下法 圓徑九十歩從旁截積八百一十歩問矢 荅曰矢一十八歩 術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百爲正實四因截積得三千二百四十為從上亷　四因圓 徑得三百六十為從下亷　五爲負隅　初商一十置一于左上為法　置一乗上亷得三萬二千四 百　置一以隅因之得五十以減從下亷餘三百一十　置一自之以乗餘下亷得三萬一千　并上亷共六萬三千四百為下法與上法相乗除實六十三萬四千　餘實一百九十九萬○四百未盡　倍上亷得六萬四千八百初商自之三因得三百為下亷方法　初商三之得三十為下亷亷法　初商自乗再乗隅因得五千為下亷減隅　次商八　置一于左上為法　置一乗上亷得二萬五千九百二十并倍上亷共九萬○七百二十　置一并入初商得一十八以隅因之得九十以減從下亷餘二百七十以方法乗之得八萬一千　置一乗亷法得二百四十以乗餘下亷得六萬四千八百　置一自之得六十四以乗餘下亷得一萬七千二百八十減去減隅五千止存一萬二千二百八十　下亷方亷隅共一十五萬八千○八十并上亷共二十四萬八千八百為下法與上法相乗除實盡 又術次商八　置一于左上為法　倍初商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十　置一隅因得四十以減餘下亷止存二百七十倍初商加次商并初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乗二百七十得一十六萬三千○八十以初商自乗再乗隅因得五千減之止存一十五 萬八千○八十并上亷共二十四萬八千八百為下法 又為添積開三乗方法 術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百為正實四因截積得三千二百四十為上亷　四因圓徑 得三百六十為下亷　五為負隅 初商一十　置一于左上為法　置一自之又自之得一萬為三乗方面以隅因之得五萬為益實加入正實得二百六十七萬四千四百為通實　置一乗上亷得三萬二千四百　置一自之以乗下亷得三萬六千并上亷共六萬八千四百為下法與上法相乗除實六十八萬四千　餘實一百九十九萬○四百未盡為次商正實 次商八　置一于左上為法　置一加初商自之又自之得一十○萬四千九百七十六為三乗方面以隅法因之得五十二萬四千八百八十内減初益實五萬餘四十七萬四千八百八十為益實加入次正實共二百四十六萬五千二百八十為通實　倍初商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十倍初商加次商得二十八并初次商一十八相因 加初商自乗共六百○四以乗下亷得二十一萬七千四百四十　并上亷共三十○萬八千一百六十與上法相乗除實盡 圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截矢 答曰矢二十五歩 不用倍積術曰積自之得一百七十二萬二千六百五十六歩【二五】　截積一千三百一十二歩半為上亷徑八十九歩為下亷以一歩二分五厘為負隅初商二十　置一于左上為法　置一乗上亷得二萬六千二百五十　置一以隅因之得二十五以減下亷餘六十四　置一自之以乗餘下亷得二萬五千六百并上亷得五萬一千八百五十為下法與上法相乗除實一百○三萬七千　餘實六十八萬五千六百五十六歩二五未盡 次商五　置一于左上為法　置一以隅因之得六歩二分五厘以減餘下亷餘五十七歩七分五厘倍初商加次商得四十五以乗上亷得五萬九千 ○六十二半　倍初商加次商并初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乗餘下亷得八萬八千○六十八歩七五　内減初商自乗再乗隅因一萬　止存七萬八千○六十八歩七五并上亷共一十三萬七千一百三十一歩二五　與上法相乗除實盡 解曰弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一?而又一矢以矢乗積倍之恰得一?一矢之數因未知矢故以積自乗為實約矢一度乗積以為上亷兩度乗徑以為下亷并之為法而後可以得矢用三乗者何也積本平方以積乗積是兩度平方矣故用三乗方法開之上亷下亷俱用四因者何也倍積則乗出之數為積者四故上下亷俱四以就之減徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本減徑而得故亦減徑以求矢五為負隅者何也凡平圓之積得平方四之三在内者七五在外者二五不拘圓之大小毎方一尺該虛隅二寸五分四其矢得四四其虛隅得一合而為五亦升實就法之意如不倍積亷不用四因以一二五為隅法亦通　或不減徑作添積三乗方法亦通 圓徑與截積求截? 術曰倍積以矢除之減矢即? 又法用矢徑求?術 圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截? 答曰?八十歩 術曰倍積得二千六百二十五歩以求出矢二十五除之得一百○五歩乃一?一矢減矢即? 又曰倍矢減徑餘三十九自之得一千五百二十一為勾算全徑自之得七千九百二十一為?算相減餘六千四百為股算平方開之 若求弧背以徑除矢算即半背?差 圓徑與弧背求矢 術曰半弧算徑算相乗為實徑乗徑算為從方徑算為上亷徑背相乗為下亷以上亷減從以隅減下亷三乗方法開之 平圓徑十尺從旁截處弧背八尺八寸問矢 答曰矢二尺 術曰半弧背自之得一十九尺三寸六分　徑自之得一百尺　相乗得一千九百三十六尺為正實徑乗徑算得一千尺為從方　徑算一百尺為上亷全背乗徑得八十八尺為下亷 約商二尺　置一于左上為法　置一乗上亷得二百尺以減從方餘八百尺　置一自之得四以減下亷餘八十四尺　又以二乗餘下亷得一百六十八尺　并從方共九百六十八尺為下法 又術商矢減徑存八尺以矢乗之得十六平方開之即得半? 平圓徑九十歩旁截邊弧背五十五歩八分問矢答曰九歩 術曰半背算七百七十八歩四一　徑算八千一百二算相乗得六百三十○萬五千一百二十一為正實　徑乗徑算得七十二萬九千為從方　徑算八千一百為上亷　徑背相乗得五千○二十二為下亷如前法求之 平圓徑九十歩旁截弧背