益古演段卷下

法者縁宻率之周稍多于古率之周也假令古率七個積即合用二十一個通步為法若依宻率七個積即合用二十二個通步為法此問乃并十四之積為實是合用四十四個通步為法也舊術曰二十二之通步如七而一為法除田積見徑又法倍通步自之又十一之于上以十四之積減上餘為實四十四之通步為法見池徑 按條叚皆于立天元一内取出而于方圓變積之義或未暇深思故謂難以為式若以方環圓環解之固易易耳今増一圖義于後而舊術又法先求池徑更可互相發明因并附焉 義曰圓幂率十一方幂率十四以十四 乗圓環積便為十一方環積毎環為實 徑乗通步之直方四故以十一方環積為 實四十四通步為法即得實徑也 義曰倍通步即大小徑并其幂内有 大小徑幂各一大小徑相乗直方二 内減圓環積所變之方環積餘小徑 幂二大小徑相乗之直方二又為小 徑乗大小徑并之直方二又為小徑乗通步之直方四故以十一倍之積較為實四十四之通步為法即得小徑也 第五十七問 今有圓田一叚内有直池水占之外計地八千七百四十四步隻雲兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞各四十五步問三事各數 答曰田徑一百二十四步　池長八十二步　濶 三十四歩 法曰立天元一為池濶加二之畔至 步得□丨為外田徑以自之得□□ 丨為田徑幂以三之得□□□爲四 叚圓田積于頭二至歩相減餘二十 四步又倍之得四十八步為池長濶差也再立天元池濶加差得□丨爲池長以天元濶乗之得□丨為池積又就分四之得□□為四叚直池積以減頭位得□□丨為如積四叚寄左然後列真積八千七百四十四步就分四之得三萬四千九百七十六步減頭位得□□丨平方開之得三十四步為池濶也依條叚求之四之見積内減十二叚畔至步幂為實十二之畔至步内減四個長濶差餘為從一步虛常法 義曰八處以紅志之者共是從内所減之數也舊術曰四之積步于上又倍一畔步自乗三之減上餘為實又并一頭一畔步六之内減了長濶之差餘為從亷常置一步減從開方見池濶也 第五十八問 今有圓田一叚内有直池占之外計地一千五百八十七步隻雲從田楞通地長四十二步通地濶三十七步問三事各數 答曰田徑五十四步　池長三十步　濶二十步 法曰立天元一為内池長以減 倍通長八十四步得□丨為田 徑以自之得□□丨為田徑幂 以三之得□□□為四叚圓田于頭再立天元一為池長内減長濶差得□丨為池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□為四叚池積【求長濶差者倍通長内減倍通濶即是也】以減頭位得下式□□丨為四叚如積寄左然後列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨開平方得三十步為内池長也以長減倍通長即田徑也依條叚求之十二之通步幂内減四之見積為實十二之通步内減四差為從一步常法 義曰十二之從步内減去了三個差又以三個漏下池積補了疊起底三步虛方外猶剰一池更用一差減從并上所剰之一池恰補成一步常法也 第五十九問 今有二方夾一圓失卻圓水占外有田積一十一畆五分五厘其方圓相去重重徑等問方圓各多少答曰内方面一十二步　圓徑三十六步　外方 面六十步 法曰立天元一為等數五之得 □為外方面自之得【元○】□為外 方積于頭一次立天元一為等 數以三之得□為中圓徑以自 之得【元○】□為圓徑幂又三之四而一得【元○】□為池積以減頭位得【元○】□為外田積内減了中圓積之數于次位一再立天元等數便為内方面以自之得【元○】丨為内方積卻加入次位得下□為如積一叚寄左然後列真積一十一畆五分五厘以畆法通得二千七百七十二步與左相消得□□步下法上實如法而一得一百四十四步再開平方得一十二步為等數也便是内方面也三之為中圓徑五之為外方面　此問更無條叚舊法以十九步二分半除積步得内方幂隻是以一步推之也假令内方一步則圓徑三步外方面五步也于外方積二十五步之内減了中圓積六步七分半卻加入内方積一步計得十九步二分半也第六十問 今有二圓夾一方失卻中方水占外有田積一十四畆一分七厘半其方圓相去重重徑等問方圓各幾何答曰内圓徑一十八步　方面五十四步　外圓徑九十步 法曰立天元一為等數以五之為外 圓徑以自之得【元○】□為外徑幂又三 之四而一得□為外田積于頭再立 天元等數以三之為中方面又自之得【元○】□為中方幂以減頭位得【元○】□為外圓積内減了中方幂之數于次位又置天元等數便為内圓徑以自之得【元○】丨為内徑幂又三之四而一得【元○】□為内圓積也卻加入頭位得【元○】□為如積一叚寄左然後列真積一十四畆一分七厘半以畆法通得三千四百二步與左相消得□□下法上實如法而一得三百二十四步再開平方得一十八步為等數便是内圓徑也副置之三因為中方面五因為外圓徑也　此問與前問意同更無條叚舊法以十步半除積步得内徑幂亦隻是以一步推之假令内圓徑一步則是中方面三步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半内減了中方積九步卻加内圓積七分半共得一十步半也 第六十一問 今有方田一叚靠西北隅有圓池水占之外計地九百二十五步隻雲從外田東南隅至池楞二十五步問面徑各多少 答曰外田方面三十五步　内池徑二十步 法曰立天元一為内池徑身外加 二得□為池東南楞至田西北角 也又加斜至步二十五步得□□ 為外田斜以自之得□□□為田 斜幂于頭再立天元圓徑以自之為幂又以一步四分七厘乗之得【元○】□為所展圓池積以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左【初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也　按加二系以方求半方半斜和之數也】然後列真積九百二十五步就分以一步九分六厘乗之得一千八百一十三步與左相消得□□□平方開得二十步為池徑也池徑外加二又添入斜至步卻身外除四即外方面也 依條叚求之展積内減斜至幂為實倍至步身外加二為從三厘虛常法減從開平方 義曰于一方外虛了四分七厘 從上帶了四分外虛七厘又于 從上乗起四