益古演段卷下

面各多少 答曰外田方面一百步　内池方面二十五步 法曰立天元一為内方面減于倍通步一百六十五 步得□丨為外田斜也以自之得 □□丨為所展外田積于頭再置 天元池方面以自之為方池積又 就分以一步九分六厘乗之得【元○】 □為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底如積一叚寄左然後列真積三十九畆一十五步通納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六厘乗之得一萬八千三百七十五步與左相消得□□□平方開之得二十五步即内池面也以池面減于倍通步又身外去四即外方面也 依條叚求之四叚通步幂内減展積為實四之通步為從九分六厘常法 義曰元以展積減四叚通步 幂時漏下一步九分六厘池 積今來于從步内疊用了一 個方外剰九分六厘 第五十三問 今有方田一叚内有直池結角占之外計地八百五十步隻雲從田角通水長三十七步通水濶三十二步問三事各數 答曰池長二十五步　濶一十五步　外田方三十 五步 法曰立天元一為内池長減于倍通步七十四步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積 于頭再置倍通長七十四步内 減倍通濶六十四步餘一十步 乃池長濶差也【或直以通長通濶相減于者倍 之亦為長濶差也】再置天元池長内減 長濶差得□丨為濶也以天元長乗之得□丨為直池積也又就分以一步九分六厘乗之得□□為展起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如積一叚寄左然後列真積八百五十步就分以一步九分六厘乗之得一千六百六十六步與左相消得□□□開平方得二十五步為内池長也【以減倍通長步又身外去四即外田方面也】 依條叚求之四叚通長幂内減展積為實四之通長于頭以一步九分六厘乗長濶差以減頭位為從九分六厘常法 義曰據從步合用之積于疊起處少了一方今将減積時漏下所展水池補了一甲之地若更得一乙之 地則共補成一步九 分六厘之地方也【按原 圖仍用正方今易為直方庶為簡明】今 不可補故于從步内 減去所展差步便是 于從法合用之積内借了一乙之地恰補就一步九分六厘之方也除補了疊起的一步方外猶剰九分六厘故以之爲常法也 第五十四問 今有方田一叚内有直池結角占之外計地一千一百五十步隻雲從田角至水兩頭各一十四步至水兩邉各一十九步問三事各多少 答曰方四十五步　池長三十五步　濶二十五 步 法曰立天元一爲池濶加二之邉至步三十八得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積于頭 二之邉至步内減二之頭至步 餘一十步為池長濶差也再置 天元池濶加差一十步得□丨 為池長也用天元池濶乗之得 □丨為直池積也又就分以一步九分六厘乗之得□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左然後列真積一千一百五十步以一步九分六厘乗之得二千二百五十五十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為池濶也【又加二之邉至步又身外去四即外方面也】 依條叚求之展積内減四叚邉至步幂為實四之邉至步于頭以一步九分六厘乗長濶差減頭位餘為從九分六厘虛常法 義曰所展池積内将四叚紅【按原 圖應減者以紅色别之】積恰補作九分六 厘虛常法其兩個所占半差于 減從時又以一步九分六厘乗 之者葢欲合身外加四所乗積也 按展積義多未備此條尤略今具圖説以詳之 義曰外四隅方所減之四至幂 也中十字積為實則池濶為隅 四之至步為從也附直池外斜 方展池積也平分上下二尖形 附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正長之直方展池正長為原池長之一步九分六厘十字積與展池積之較為實是前從隅内應少原池長之一步九分六厘又為少原池長濶較之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展較減前從以為從展隅反減前隅為虛隅也 第五十五問 今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一分隻雲内外周徑共相和得四百二十四步問内外周徑各多少【圖依宻率】 答曰外周二百八十六步徑九十一步　内周一百一十步徑三十五步　實徑二十八步 法曰立天元為實徑以減相和 步四百二十四得□丨為内外 周共步用天元實徑乗之得□ 丨為如積兩叚寄左然後列二 之真積一萬一千八十八步與左相消得□□丨開平方得二十八步為實徑也以徑步除田積于頭位又二十二乗徑步如七而一得數若加頭位即外周若減頭位即内周也 義曰以徑步除田積所得乃半内周半外周共步也又據古率三個實徑即是半個外内周差步也縁此問系是宻率故以二十二乗徑以七約之也即得半差以加共步即是外周以減共步即是内周也又據古率三之實徑以加減共步者縁共步便三空徑三實徑共數也于此共數内加三實徑則恰是三個大圓徑故為一個外周也若共數内減去三實徑則正有三個小圓徑故為一個内周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此數以求内外周也依條叚求之倍積步為實和步為從一益隅 義曰以和步為從 是于内外周數外 又引出一步虛常法也 第五十六問 今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一分隻雲從外田通内池徑六十三步問同前 答同前 法曰立天元為實徑加通步六 十三得□丨為外田徑以自之 得下□□丨為外圓徑幂又十 一之得下式□□□為十四叚 外圓積于頭再置天元實徑以減通步得□丨為内圓徑以自之得□□丨為内圓徑幂又十一之得□□□為十四叚内圓積也以減頭位得下式□步為十四叚如積寄左然後列真積二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七萬七千六百一十六與左相消得□□下法上實如法而一得二十八步為實徑也以實徑加通步即外徑若減通步即内池徑也 依條叚求之十四之積為實四十四之通步為法求得實徑 此問難以為式強立此式以推之毎積之長乃三個通步今十四之積合以四十二個通步除之今用四十四之通步為