益古演段卷下

元　李冶　撰 第四十三問 今有圓田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共計地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三隻雲宻徑多于古徑九步徽徑多于宻徑九步問三徑各多少 答曰古徑三十六歩　宻徑四十五步　徽徑五 十四步 法曰立天元一為古徑加多九步得 □丨為宻徑以自之得下□□丨為 宻徑幂又以十一乗之得□□□為 十四叚宻圓積于頭又立天元古徑 加二之多步一十八步得□丨為徽 徑以自之得□□丨為徽徑幂也又 以一百五十七乗之得□□□為二 百叚徽圓積于中【按徽率周一百五十七徑五十徑乗】 【周四歸為圓幂今以徑幂乗周當以徑五十除之再四歸之為圓幂不除便為五十乗之又四乗之之二百圓幂也】又置天元古徑以自之又三之得【元○】□為四叚古圓積于下乃求三積齊同分母而并之先以分母一萬七千五百【按此即十四除二十四萬五十之數】乗十四叚宻圓積得□□□為二十四萬五千叚宻圓積于頭位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽積得□□□為二十四萬五千叚徽積于中位次以分母六萬一千二百五十乗四叚古積得○○□為二十四萬五千叚古積于下位三位相并得□□□為二十四萬五千叚如積數寄左然後列見積通分内子得八十四萬九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一億八千八百七十七萬二千二百與左相消得下式□□□平方開之得三十六步為方徑也各加多步見徽宻二徑也　義曰所以齊同于二十四萬五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此數依條叚求之以一千四百乗田積于頭位置徽徑多古徑自之為幂又以一千九十九【按置一千四百分以徽圓幂率一百五十七乗之方幂率二百除之即得】乗之減頭位續置宻徑多古徑自之為幂又以一千一百【按置幂十】一【千四百分以宻率圓乗之方幂十四除之即得】乗之複減頭位餘為實又倍徽徑多古徑以千九十九乗之為徽從又倍宻徑多古徑以一千一百乗之為宻從并二從得五萬九千三百六十四為從法亷常置三千二百四十九 義曰以一千四百乗積者取其三率皆可以除之也 齊同分母湏至于二十四萬五千 叚者葢以分母一百七十五元乗 積數一千四百此二數相乗得二 十四萬五千也 此問求真積實數　古徑三十六得積九百七十二步　宻徑四十五步得積一千五百九十一步一十四分步之一　徽徑五十四步得積二千二百八十九步二百分步之一十二并三積全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上維乗下位【宻子得二百分　徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分為子實又上二位相乗得二千八百分為母法子母俱以十六約之為一百七十五分步之二十三　一千四百乗田積來厯蓋隻就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一為一千一百積　若以古率三之四而一則得一千五十積　若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九積所以用一千四百乗積者縁古法四徽法二百皆可以除之也　求三積齊同分母元分母數一百七十五元乗積數一千四百此二數相乗二十四萬五千即大分母也三積總率皆齊同于此既得此齊同分母乃各以先求到叚數約之徽率得一千二百二十五宻率得一萬七千五百古率得六萬一千二百五十故反以乗叚數皆齊同于二十四萬五千也 按條叚分母數簡于前法者用舊術也然各分母之數猶有可省者蓋衆數取分母數必得最小者方爲确凖其義見秦九韶數學九章大衍術中今附其法于後以發明前法所未盡者 法列四數先以元母一百七十五與 宻方率十四相度得度盡二數之數 為七次以二數相乗以度盡數除之 得三百五十為二數總母又以二數 總母與徽方率數相度得度盡二數 之數為五十以二數相乗度盡數除 之得一千四百為三數總母又以三 數總母與古方率數相度則古方率 四即為度盡二數之數二數相乗度 盡數除之仍得一千四百即為四數 總母然後以宻方率十四除之得一 百為宻分母以徽方率二百除之得 七為徽分母以古方率四除之得三 百五十為古分母以元分母一百七 十五除之得八為原積分母以此數 與各叚幂積相乗除較原數所省多 矣 第四十四問 今有梯田一叚長二百四十步并不知東西兩濶隻雲從東頭截長五十步計地三畆從西頭截長三十步計地五畆問二濶各多少 答曰東頭元濶一十一步二分　西頭元濶四十 一步九分二厘 法曰此問先湏求見兩頭各截之停廣求東截停廣者置東頭所截三畆之積七百二十步以截長五十步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西截停廣者置西頭所截五畆之積一千二百步以截 長三十步除之得四十步為西頭所 截停廣也乃立天元一為毎步之差 以東頭截長五十步乗之折半得□ 以減東停廣一十四步四分得□【分】□為東頭元小濶于上再置天元差 步以西頭截長三十步乗之得□折半得□加入西頭停廣四十步得□□為西頭大濶也内減東頭小濶餘□步□為二濶總差也寄左再立天元毎步差以正長二百四十步乗之得□亦為二濶總差與左相消得□步□下法上實如法而一得一分二厘八毫為毎步之差也置毎步之差以西頭截長三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西頭停廣四十步得四十一步九分二厘為西頭元大濶也又置毎步之差以東頭截長五十步乗之得六步四分折半得三步二分以減于東頭停廣一十四步四分餘一十一步二分為東頭元小濶也此問止求毎步之差更不湏以條叚明之 舊術依法求得東停廣與西停廣數乃以二停廣相減餘以二百而一【謂東截長五十步其停廣當二十五步餘去了二十五步也西截長三十步其停廣當一十五步餘去了一十五步也兩頭計去了四十步以減于正長二百四十步餘二百步】所得為毎步之差乃副置半步之差左以東截長乗之以減東停廣餘為東元濶也右以西截長乗之以加西停廣并為西元濶也又法置一步之差以正長二百四十乗之所得為都濶差也以都濶差加于小頭濶則為大頭濶也 第四十五問 今有方田一叚中心有方田池占之外計地一畆隻雲從外田東南隅至内池