益古演段卷中

元　李冶　撰 第二十三問 今有圓方田各為叚共計積一千三百七步半隻雲方面大如圓徑一十步圓依密率問面徑各多少答曰方面三十一步　圓徑二十一步 法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以自之得□【○二】丨為方田積以十四之得下式□□□ 為十四叚方田積于頭又立天元 圓徑以自乗為幂又以十一之得 【太○】□便為十四叚圓田積【依密率合以徑 自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就為十四分母】 【也】以并入頭位得□□□為十四叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分十四之得一萬八千三百五步與左相消得□□□開平方除之得二十一步為密率徑也加不及步為方田也 依條叚求之十四之積步于上内減十四叚不及步幂為實二十八之不及步為從二十五步常法 義曰将此十四個方幂之式 隻作一個方幂求之自見隅 從也 第二十四問 今有方圓田合一叚共計積一千四百六十七步隻雲方面與圓徑相穿得五十四步問面徑各多少答曰方面一十二步　圓徑四十二步 法曰立天元一為圓徑減穿步五十 四步得□丨為方田面以自増乗得 下式□□丨為方田積于頭位再立 天元圓徑以自之又三之四而一得 【元○】□為圓田積也并入頭位得□□□為一叚如積寄左然後列真積一千四百六十七步與左相消得□□□倒積倒從開平方得四十二步為圓田徑也以減穿步即方面 按法内所言倒積倒從即飜積法也蓋初商積常減原積此獨以原積減初商積倍防常減従步此獨以従步減倍防乃平方中之一變也古法多用之今依數布算于後以存其式 法列積一千四百四十九步為實以一百零八步為 長與一濶又七分半之和即從數求 濶初商四十步以一濶七分半乗之 得七十步以減和數餘三十八步以 初商乗之得一千五百二十步為初 商積大扵原積反減之餘實七十一 步乃二因一濶七分半所乗初商之 數得一百四十步大扵和數反減之 餘三十二步為次商防次商二步以 一濶七分半乗之得三步半為次商 隅凡和數防隅相減此反相加得三 十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與餘積相減恰盡開得濶四十二步 依條叚求之穿步幂内減田積為實倍穿步為従一步七分半虛常法 義曰二之従步内元減了七分半 又疊了一步計虛卻一步七分半 也 第二十五問 今有方圓田各一叚共計積一千三百七步半隻雲方周大如圓周五十八步問方圓各多少【圓依密率】 答曰方周一百二十四步　圓周六十六步 法曰立天元一為圓周加周差五十 八步得□丨為方田周以自増乗得 下式□□丨為方周幂便是十六個 方田積又就密率分母一十一之得 □□□為一百七十六叚方田積于頭又立天元圓周以自之為幂又就分一十四之得【元○】□為一百七十六叚圓田積【依密率周上求積合以周自乗又以七乗之如八十八而一為一叚田積也今又周宻上更以十四乗之則合用一百七十六而一故就分便為此數】以添入頭位得□□□共為一百七十六叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三萬一百二十步與左相消得□□□開平方得六十六步為圓田周也加多步見方周 依條叚求之一百七十六之積内減一十一叚多步幂為實二十二之多步為從二十五步常法 義曰一百七十六之積步内 有一十一個方周方一十四 個圓周方也今畫此式其一 十四個圓周方與一十一個圓周方大小俱同者止為欲見差步權作此式其實合作一十二叚圓式求之其實自見也【按十一方周幂十四圓周幂共積内減去十一不及幂餘不及步乗圓周長方二十二圓周幂二十五故以二十二不及步為従二十五為隅也】 第二十六問 今有方圓田各一叚共計一千四百五十六步隻雲方周大如圓周方圓周共相和得二百步問二周各多少答曰方周一百二十八步　圓周七十二步 法曰立天元一為圓周減于相和二 百步得□丨為方周以自乗得□□ 丨為方周幂【是十六個方積也】就分三之得 □□□為四十八叚方田積扵頭再 立天元圓周以自之又就分四之得【元○】□亦為四十八叚圓田積并入頭位得□□□為四十八叚如積數寄左然後列真積一千四百五十六步就分四十八之得六萬九千八百八十八步與左相消得□□□開平方得七十二步為圓田徑也減共步則方周 依條叚求