益古演段卷上

元　李冶　撰 第一問 今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七分半并不記内圓外方隻雲從外田楞至内池楞四邊各二十步問内圓外方各多少 答曰外田方六十步　内池徑二十步 法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨【按太即真數此 即四十步并一池徑】為田方靣【按方靣即每邊】以 自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十 池徑一平方并】為方積于頭再立天元 一為内池徑以自之又三因四 而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步與池之位】為池積以減頭位得□□□【按此即一千六百步八十池徑二分半平方】為一段虛積寄左然後列直積以畝法【按畝法二百四十步】通之得三千三百步與左相消【按相消者兩邊同減一千六百歩後凡言相消者皆兩邉加減一數也】得□□□【按此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等】開平方得二十步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也按今借根方法即立天元一法詳見 禦制數理精蘊茲不盡釋 以條段求之真積内減四段至步幂為實四之至步為從二分半常法 義曰真積内減四段至步幂者是減去四隅也以二分半為常法者是于一步之内占卻七分半外有二 分半也 第二問 今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七分半并不記徑面隻雲從外田南楞通内池北楞四十步問内圓外方各多少 答曰同前 法曰立天元為池徑減倍通步 得□丨【按此即八十步少一圓徑】為田方靣 以自増乗得□□丨【按此即六千四百步 少一百六十徑多一平方】為方田積于頭又 以天元池徑自之三因四而一得【太　○○】□【按此即百分平方之七十五】為池積以減頭位得□□□【按此即六千四百步少一百六十徑多二分半平方】為一段虛積寄左然後列真積三千三百步與左相消得□□□【按此即三千一百步與一百六十徑少二分半平方等】開平方得二十歩即内池徑也倍通步内減池徑為方靣也 依條段求之倍通步自乗于頭位以田積減頭位餘為實四之通步為從二分半虛常法 義曰倍通步者是于方靣之外引出一圓也用二分半虛常法者是一個虛方内卻有減餘圓池補了七分半外欠二分半故以之為虛隅也 第三問 今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八歩隻雲從外田角斜至内池楞各五十二步問靣徑外方各多少 答曰外田方一百二十步　内池徑六十四步 法曰立天元一為内池徑加倍 至步得□丨為方斜以自増乗 得□□丨為方斜幂于頭【其方斜上 本合身外減四今不及減便是寄一步四分為分母也今此方斜幂乃】 【是變斜為方靣以自乘之數又别得是展起之數也】又立天元為池徑自之又三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池積亦須展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦為一個展起底圓池積也【以一步九分六厘乘之者葢為分母十四以自之得一步九分六厘也】以池積減田積餘□□□為一段虛積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步亦用分母幂一步九分六厘乗之【或兩度不加四亦同】得二萬二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開之得六十四步為内池徑也倍至步加池徑身外除四見方靣也　一法求所展池積以徑自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之隻于徑幂上以一步四分七厘【按此即三因四除一步九分六厘之數】乗之便為所展之池積也 依條段求之展積内減四段至步幂餘為實四之至步為從四分七厘益隅 義曰凡言展積者是于正積上以一步九分六厘乗起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過于每步上得一步九分六厘故今命之為展起之數 也諸變斜為方者皆凖此所展 之池積是于一步圓積上展出 九分六厘若以池徑上取斜為 外圓徑則一步上止生得四分 七厘也故以四分七厘為虛常法又取方幂一步九分六厘四分之三亦得圓積一步四分七厘也按法内皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數繁礙于講解故用古率以從簡且其法既明即用宻率亦無不可 第四問 今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八步隻雲從外田角斜通池徑得一百一十六步問靣徑外方各多少 答曰外田方一百二十步　内池徑六十四步 法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜 以自之得□□丨便為所展方 田積于上再立天元一為池徑 以自之又以一步四分七厘乗 之得【太　○○】□【步】便為所展圓池 積也以池積減上田積餘得□□□為一段如積寄左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開之得六十四步為内池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外除四為方靣也 以條段求之四段通步幂内減展積為實四之通步為從四分七厘常法 義曰四之通步為從其減 積外實欠一個方今即有展 池減時所剰之積補卻一 個虛方外猶剰一個四分 七厘為常法也 第五問 今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝二分隻雲内圓周不及外方周一百六十八步問方圓各多少 答曰外方周二百四十步　内圓周七十二步 法曰立天元一為内圓周加一百六十八步得□丨為外方周以自増乗得□□丨為一十六個方田積又三因之得□□□為四十八段方田積于頭【所以三因 為四十八者就為四十八分母也】再立天元圓 周以自之【元○】丨為十二段圓池 積【圓周幂為九個圓徑幂每三個圓徑幂為四個圓池積今九 個