益古演段卷上

二之積步減和步幂為實八之和步為虛從四常法 義曰十二段圓田内有十二個 方池于方周幂内補了十二池 外猶欠四個故以四為隅法此 式元系虛從今卻為虛隅命之 故以四為虛常法 舊術曰相和步自乗于頭位以十二之積步減頭位餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從第十九問 今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步隻雲内外周與實徑共相和得六百二步問三事各多少 答曰外圓周三百六十步　内方周二百八步 實徑三十四步 法曰立天元一為内方靣以減一百七十二得□丨為外田徑也【倍雲數得一千二百四步别得是六個圓徑八個方靣兩個實徑今将一個方靣兩個實徑合成一個圓俓并前數而計是七個方靣七個圓徑也今置一千二百四步在地以七約之 得一百七十二步為徑靣共也便是一個方靣一個圓徑更無 實徑也】以自增乘得□□丨為圓 徑幂也以三之得□□□為四 段圓田積于頭再立天元内池 靣以自之又就分四之得【元○】□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左相消得□□丨開平方得五十二步為内方靣也以七之方靣減于倍和步餘以七而一即圓徑也圓徑内減方靣餘者又半之即實徑也 依條段求之徑靣共一百七十二也自之為幂又三之于頭位内減四之見積餘為實六之徑靣共步為從一常法 義曰四之真積内有四個方池于從法内疊周了三個外剰一個故以一步為常法 舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六步【按此即四與四十九相乗之數】之田積減頭位餘以十四而一為實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見内方靣 第二十問 今有圓田一段内有方池水占之外計地二千四百七十五步隻雲内外周與斜徑相和得二百五十九步半問三事各多少 答曰外圓周一百八十步　内方周六十步　斜 十九步半 法曰立天元一為内方靣以三 十三之減于十之雲數二千五 百九十五步得□□為三十五 個圓田徑【十之雲數内有外圓徑三十個内方靣四】 【十個角斜十個今将七個方靣并入十個角斜為五個圓徑也總别得十之雲數是方靣三十三個圓徑三十五個外更無斜徑角也】乃以三十五之圓徑自増乗得下式□□□為一千二百二十五段圓徑幂也以三因之得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓田積于頭再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平方開得一十五步為内方靣方【三十三之方靣以減于十之相和二千五百九十五步餘三十五而一即圓徑以方靣加四減圓徑餘半之即斜徑也】 依條段求之十之相和步自之為幂以三之于頭位以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之相和步為從一千六百三十三為常法 義曰減數計三千六百七十五個圓徑幂便是四千九百個圓田積也内漏下四千九百個方池卻于從 内疊用了三千二 百六十七個方池 外猶剰一千六百 三十三個方靣幂故以之為常法也其從法元有一百九十八個方靣合用一百九十八之相和步為從今用一千九百八十個相和步者縁為相和步先進了一位也 第二十一問 今有方田三段共計積四千七百七十步隻雲方方相較等三方靣共并得一百八步問三方多少 答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小 方靣一十五步 法曰立天元一為方差以減中方靣 【置并數三而一即得中方靣】得□丨為小方靣也 以自之得□□丨為小方積于頭再 立天元方差加入中方靣得□丨為 大方靣以自之得□□丨為大方積于次位又列中方靣□自之得下□為中方積于下位三位相并得□○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即是方差也【置方差數加中方即大方靣減中方即小方靣也】 依條段求之列并數以三約之所得即中方靣也以自之為幂又三之以減積為實無從二步常法義曰積步内減三個中方幂外有兩個方故得二步 常法舊術又折半止得一個 方也 第二十二問 今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二百一十二步七分半隻雲從田東南隅至水楞四十五步半問田方靣多少 答曰田方靣三十五步 法曰立天元一為水占斜加入 雲數四十五步半得□【元丨】為田 斜以自増乗得□步□丨為田 斜幂于頭再立天元一水占斜 以自之為水占得小方積就分以一步九分六厘乗 之得【元○】□　【步】為所展得水占積也以減頭位得□□ □【步】為如積一段寄左然後列真積一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘與左相消得□□□開平方得三步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣也 依條段求之展積内減至步幂為實二之至步為從九分六厘虛常法開平方得三步半即水占斜也義曰今将水占斜直命為小方池靣也 舊術曰列田積于頭位又列至步除四則直至步以 自乗減頭位餘為實二之直至 為從以九分六厘為廉從開平 方得二步半加直至步三十二 步半得三十五步即田方靣也 此圖即舊術條段也舊術減雲 步為直至步入法而求得二步 半為直至不及方靣步新術展 積入法而求得三步半為水占 斜 益古演段卷上