益古演段卷上

□□為外徑幂以三之得□ □□為四段外圓積于頭再立天元内方靣以自之又四之得【元○】□為四段方池積也以減頭位餘□□□為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身外加四又加入倍至步即為外田徑也 依條段求之四之積步内減十二段至步幂為實十二之至步身外加四為從一步八分八厘為常法義曰三個九分六厘計二步八分八厘其四個圓田内有四個方水池除從步合占三個外猶剰一個水 池卻于數内取了一步餘一步八分八厘故以之為常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能見方靣而但得方斜也 舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減頭位餘折半為實又倍去角步三因加四為從法廉常置九分四厘 第十四問 今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七步隻雲從田外楞通内池斜三十五步半問外圓内方各多少 答曰外圓徑三十六步　内方靣二十五步 法曰立天元一為内方靣加四得【元□】為方斜以減倍通步得【太□】□為外圓徑以自増乗得□□□為外田 徑幂也以三之得□□□為四 段圓田積于頭再立天元内方 靣以自之又就分四之得【元○】□ 為四段方池以減頭位得□□ □為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為内方靣也方靣加四減于倍通步得圓徑也 依條段求之十二段通步幂内減四之田積為實十二之通步加四為益從一步八分八厘常法 義曰此式元系虛從今以虛隅命之四段圓田減積時剰下四段方池于從步内用訖三個外猶剰一個卻于二步八分八厘虛數内補了一歩外虛一步八分八厘故以之為法【從負隅正或從正隅負其實皆同故因此廉從以别之】舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位餘為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分八厘減從開方【新舊廉從不同開時則同故兩存之】 第十五問 今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步隻雲内方周不及外圓周一百五十二步問外圓内方各多少 答曰外圓周三百六十步　内方周二百八步 法曰立天元一為内方靣以四 之為内方周加不及一百五十 二步得□□為外圓周以自増 乗得□□□為十二段圓田積 于頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積以減頭位餘□□□為十二段如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□□平方開得五十二步為内池方靣也以四之為内方周加不及步為圓周也 依條段求之十二段積步内減不及步幂為實八之不及步為從四步為常法也 義曰十二段圓積該九段圓徑 幂九段圓徑幂便是九個圓周 幂也據十二段圓積内元少十 二個方池今于周幂内除折筭 外剰四個池積故以四步為常法也 舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平方【新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易而猶立新術者縁舊術難畫條段也餘仿此】第十六問 今有圓田一段内有方池水占之外計地三千五百六十四步隻雲内方周與外圓徑等問等數各若幹答曰内方周外圓徑各七十二步 法曰立天元一為等數便以為 方周以自之為十六個方池于 頭【元○】丨再立天元等數便以為 圓徑以自之又十二之得【元○】□ 為十六段圓田積内減頭位餘【元○】□為十六段如積寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平方開得七十二步即等數也 按法後落條段一條依前例補之 依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法 義曰十六個圓積 乃十二段圓徑幂 也其十六個圓積 内有十六個方池恰是一個方也此一個方便是等數幂也 舊術曰列田積從十一段平方開之得内方靣四之即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開方即等數 第十七問 今有圓田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步隻雲外圓徑不及内方周四十二步問方圓各若幹 答曰外圓徑五十四步　内方周九十六步 法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得 為内方周以自増乗得下式□ □丨為十六段池積于頭再立 天元外圓徑以自之又十二之 得【元○】□為十六段田積也内減 頭位餘□□□為十六段如積寄左然後列真積一千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步為外圓徑也加不及步為内方周也 依條段求之置十六之積加不及步幂為實倍不及步為虛從一十一步為常 義曰十二個圓徑 幂該十六個圓田 積十六個圓田積 内有十六個方池其十六個方池于實積内侵過所加一角并二段虛從之數也 第十八問 今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七步隻雲外圓周内方周共得二百八步問内外周各多少 答曰外圓周一百八步　内方周一百步 法曰立天元一為内方靣以四 之為内方周減于相和二百八 步得□□為外圓周以自增乗 得□□□為圓周幂便為十二 段圓田積于頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積也以減頭位餘□□□為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為内方靣也四之為内方周減于相和步為圓周也 依條段求之以十