益古演段卷上

外猶剰三十五個七分半故以之為常法也 舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積減頭位餘退一位為實倍相和步為從法廉常置三步五分七厘半 第十問 今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六十八步隻雲内外方圓周與斜徑共相和得三百四十二步問三事各多少 答曰外方周二百四十步　内圓周七十二步 斜三十步 法曰立天元一為池徑以二十 五之減于十之相和三千四百 二十步得□□為四十七個外 方靣以自増乗得□□□為二 千二百九段方田積于頭位【十之相和步三千四百二十為方靣四十個内池徑三十個斜至步一十個以一十個斜至步合入五個池徑共得五斜此五斜卻便是七個方靣計總數該四十七個方靣二十五個圓徑外更無斜至步也】再立天元池徑以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】　□為二千二百○九個圓池積也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齊其二千二百○九分母也每一個圓池積七分半今有二千二百○九個圓池積以七分半乘之該一千六百五十六步七分半也】以此減頭位得□□□為二千二百九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十七而一得為外方靣身加四内減了圓池徑餘折半為斜徑也 按法内所用四十七方靣之數亦由立天元一法取出但截去前段恐初學不能無疑茲仍依其法補之 法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七并之得四十七為法除實得方靣不除便為四十七個方靣也 依條段求之相和步進一位自乗于頭位以二千二百九之真積減頭位餘為實五百之和步為益從一千三十一步七分五厘為益隅 義曰減數系是二千二百九段方靣幂内卻漏下二千二百九個圓池此數該一千六百五十六個七分 圓徑幂卻于從步上疊用了六 百二十五個池徑幂外猶剰一 千三十一個七分五厘故以之 為隅法其從法元有五十個圓 徑今命為之五百者縁相和步進一位也 舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二百九之積減頭位餘以三之為實又以一千五百之相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平方見池徑 第十一問 今有圓田一段内有方池水占之外計地二十五畝餘二百四步隻雲從外田楞至四邊各三十二步問外圓内方各多少 答曰外圓徑一百步　内方靣三十六步 法曰立天元一為内方靣加倍至步為外田徑以自之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積 于頭再立天元方靣以自之又 就分母四之得【元○】□為四池積 以減頭位得□□丨為四段如 積數寄左然後列真積又就分 四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓徑也 依條段求之四之積步于頭位【作三個外圓徑幂内出了四個方池積也】内減十二之至步幂為實十二之至步為從一虛隅 義曰四個外圓田内減了十二段至步幂複以十二之至步為從又合去四個方池今元積内有三個虛池外猶欠一個虛池故以一步為虛隅常減從以為法 又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步隻雲方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方靣各若幹 答曰徑十歩　靣五步 法曰立天元一為方斜加三步 為圓徑以自之又以一步九分 六厘乗之得□　【步】□□【按此為一平方 九分六厘多十一元七分六厘多十七步六分四厘諸條皆步】 【數在上此條獨步數在下】又三之得□　【步】□□内減四之天元幂得上層□中下雲雲【按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘】寄左然後置五十步兩度加四得□【步】又四之得□【步】與左相消得下層三百三十九步○八厘【按此下當加與一平方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明】負開平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即方靣也合問 依條段求之四段展起見積内減三段展起至步幂為實六之至步展起為從一步八分八厘為常法也此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細分之 義曰三個九分六厘共計二步八分八厘其元初作四段如積時合有四個所展之池今來隻見三個故于二步八分八厘内去卻一步有餘隻有一步八分八厘為常法也【此法于别紙上抄得故録于此】 第十二問 今有圓田一段内有方池水占之外有地二十五畝零二百四步隻雲從外田楞通内方方靣六十八步問各數若幹 答曰外圓徑一百步内方靣三十六步 法曰立天元一為内方靣減倍通步得□丨為外圓 徑以自之得□□丨為圓徑幂 以三之得□□□為四段圓田 積于頭再立天元内方靣以自 之又就分母四之得【元○】□為四 段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨平方開之得三十六步為内方靣也減倍通步即圓徑 依條段求之十二段至步幂内減四之見積為實十二之通步為從一常法 義曰所減數内剰 下四個方池疊補 了三個外猶剰一 個故以之為常法 第十三問 今有圓田一段内有方池水占之外計地五千步隻雲從外田楞至内池角四邊各一十五步問方圓各多少 答曰外圓徑一百步　内方靣五十步 法曰立天元一為内方靣身外 加四為内方斜又加倍至步得 □□為外圓徑也以自増乗得 □