卷四十

加而得四率其理同也又四率既過于一百分而以其過于一百分之餘度自十分上量之是以十分當百分故十五分二厘即為一百五十二分既以四十七分半當四千七百五十則一百五十二分即為一萬五千二百也 設如有銀六兩買米五石今有銀四兩八錢問買米幾何 法以假數尺之六十分内減去五十分餘度與四十八分相減得四十分即四石為米數也葢六兩與五石之比同于四兩八錢與四石之比故以六兩為一率五石為二率四兩八錢為三率得四石為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先于一率内減去二率以其餘度與三率相減而得四率其理同也總之二率大于一率者則四率亦大于三率故以二率多于一率之分與三率相加而得四率若二率小于一率者則四率亦小于三率故以二率小于一率之分與三率相減而得四率用雖不同而理實一也 正?假數尺 法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至九十度之正?假數減去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正?假數為八二四一八減去首位之八餘二四一八即為二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二邊依所截防作線與甲乙邊平行又将甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分厘尺法于各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數如自一度至二度之斜線其與第一直線相交之處即一度五分其與第二直線相交之處即一度十分葢一度有六十分故直線分為十二每一直線當五分若于直線之間酌量取之則五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分則截去自一度至五度之數從六度起至九十度止葢九十度之正?假數首位為一○一度之正?假數首位為八相減餘二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺則假數首位須再減去一數故從六度起六度之正?假數首位為九減去首位之九取其零數作寸分厘豪至九十度則恰得一尺之分也 設如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙邊五尺三寸七分問甲乙邊幾何法以正?假數尺之四十四度三十分與五十三度相減用其餘度與假數尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分為甲乙邊也葢甲角正?與丙角正?之比同于乙丙邊與甲乙邊之比故以四十四度三十分之正?為一率五十三度之正?為二率假數尺之五十三分七厘當乙丙邊為三率得六十一分一厘當甲乙邊為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先于二率内減去一率以其餘度與三率相加而得四率其理同也 設如甲乙丙三角形甲乙邊六尺一寸一分甲丙邊七尺五寸九分乙角八十二度三十分問丙角幾何 法以假數尺之六十一分一厘與七十五分九厘相減用其餘度與正?假數尺之八十二度三十分相減得五十三度為丙角度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同于乙角正?與丙角正?之比故以七十五分九厘當甲丙邊為一率六十一分一厘當甲乙邊為二率八十二度三十分之正?為三率得乙角五十三度為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先于一率内減去二率餘度與三率相減而得四率其理同也 切線假數尺 法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至四十五度之切線假數減去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所截防作線與甲乙邊平行又将甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分厘尺法于各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數皆與正?假數尺同至于四十五度以後則與四十五度以前相為正餘葢四十五度之正切線與半徑等四十五度以前之正切線即四十五度以後之餘切線而半徑與正切之比同于餘切與半徑之比故切線尺止用四十五度正餘相對即足八十九度之用若尺小止用一百分則截去自一度至五度之數從六度起至四十五度止其餘度則至八十四度止亦與正?假數尺同也 設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四尺三寸六分乙丙邊四尺二寸九分問甲角幾何 法以假數尺之四十三分六厘與四十二分九厘相減用其餘度與切線假數尺之四十五度相減得四十四度三十分為甲角度也葢甲丙邊與乙丙邊之比同于半徑與甲角切線之比故以四十三分六厘當甲丙邊為一率四十二分九厘當乙丙邊為二率四十五度之切線當半徑為三率得甲角四十四度三十分為四率也因二率小于一率故于一率内減去二率餘數于三率内減之即得四率也 設如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙邊三十二尺三寸問乙丙邊幾何 法以切線假數尺之五十三度與半徑相減用其餘度與假數尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸為乙丙邊也蓋半徑與甲角正切線之比同于甲丙邊與乙丙邊之比而甲角餘切線與半徑之比亦同于甲丙邊與乙丙邊之比故以五十三度之餘切線為一率四十五度之切線當半徑為二率三十二分三厘當甲丙邊為三率得四十二分九厘當乙丙邊為四率因五十三度切線自四十五度起是已減去半徑矣故以二率與三率相加即得四率不必更減一率也 割線假數尺 法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至八十九度之割線假數減去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所截防作線與甲乙邊平行又将甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分厘尺法于各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數皆與正?假數尺同若尺小止用一百分則截去自八十五度至八十九度之數從○度起至八十四度止葢○度之割線即半徑其假數為一○今從○度起即減去半徑之數至八十四度以後則假數甚大一尺之内不能容故止八十四度止也 設如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙邊四十二尺九寸問甲乙邊幾何 法以割線假數尺之四十五度三十分與假數尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸為甲乙邊也葢半徑與甲角割線之比同于甲丙邊與甲乙邊之比故以半徑為一率四十五度三十分之割線為二率四十二分九厘當甲丙邊為三率得六十一分一厘當甲乙邊為四率因割線先巳減去半徑之數故二率與三率相加即得四率不必更減半徑也 設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四十二尺九寸甲乙邊五十三尺七寸問甲角幾何 法以假數尺之四十二分九厘與五十三分七厘相減用其餘度自割線假數尺○度以上量之得三十七度為甲角度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同于半徑與甲角割線之比故以四十二分九厘當甲丙邊為一率五十三分七厘當甲乙邊為二率半徑為三率得三十七度當甲角為四率因○度之割線即半徑故以一率二率相減之餘度自○度以上量之即如與半徑相加也 禦制數理精蘊下編卷四十