卷三十九

法以比例尺更面線圓号之兩防依分厘尺一寸二分之度展開勿令移動次取方号之兩防相距之度于分厘尺上量之得一寸零六厘即一尺零六分為正方形之每一邊用其度作正方形其積與圜積等也葢圓号與方号之比例原為同積之圓徑與方邊之比例則其兩距度之比例亦必為圓徑與方邊之比例今圓号相距之度既為圓徑則方号相距之度必為方邊無疑矣又以一寸二分當圓徑一尺二寸故一寸零六厘即為方邊一尺零六分也 設如有甲三邊形每邊一十五尺又有乙五邊形每邊十尺欲并作一正方形問每邊幾何 法以比例尺更面線三邊号之兩防依分厘尺一寸五分之度展開勿令移動次取方号之兩防相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分為正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲三邊形積等也又以五邊号之兩防依分厘尺一寸之度展開勿令移動次取方号之兩防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸為方正形之每一邊用其度作正方形其積與乙五邊形積等也乃将兩正方形用分面線求其積之比例以分面線第十分之兩防依小方邊九分八厘七豪之度展開勿令移動複以大方邊一寸三分一厘之度于分面線上尋至第十七分六厘之處其相距之度恰合即兩方形之比例為十分與十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面線第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸為正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲乙兩形之積等也葢甲乙兩形不同類不能得其比例即不能相加故先用更面線将甲乙兩形俱變為正方形複用分面線求其比例而并之即得所求大正方形之一邊也 設如有甲八邊形每邊十二尺又有乙六邊形每邊六尺今将兩面積相減用其餘積作一七邊形問其邊幾何 法以比例尺更面線八邊号之兩防依分厘尺一寸二分之度展開勿令移動次取七邊号兩防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸為七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與甲八邊形積等也又以六邊号之兩防依分厘尺六分之度展開勿令移動次取七邊号兩防相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分為七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與乙六邊形積等也乃将兩七邊形用分面線求其比例以分面線第十分之兩防依小七邊形之邊五分零七豪之度展開勿令移動複以大七邊形之邊一寸三分八厘之度于分面線上尋至第七十八分之處其相距之度恰合即兩七邊形之比例為十分與七十八分相減餘六十八分即取分面線第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺為所求七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與甲乙兩形相減之餘積等也葢甲乙兩形不同類不能得其比例即不能相減故先用更面線将甲乙兩形俱變為七邊形複用分面線求其比例而後相減即得所求七邊形之一邊也 設如有十等邊形積四千四百四十五尺問每一邊幾何 法先以比例尺分面線第一分之兩防依分厘尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺與積四千四百四十五尺相較其比例如一與四十四又九之五即取分面線第四十四分又九之五相距之度于分厘尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二為方形之一邊用其度作正方形其積與十邊形積等也乃以更面線方号之兩防依方形每邊六寸六分又三分之二之度展開勿令移動次取十邊号兩防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分即二十四尺為所求十邊形之每一邊也葢正方形為各面形比例之宗故凡有積求邊者必先用分面線求得方形之邊然後用更面線使方号兩防相距之度與方邊等而取所求形之号兩防相距之度即所求形之一邊自圓形三邊形以至九邊形皆同一法也 分體線 自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十二節之法分之即為分體線也或設正方體界一百厘其積數一百萬厘以二因之得二百萬厘開立方得一百二十六厘為積二百萬厘之根又以三因之得三百萬厘開立方得一百四十四厘為積三百萬厘之根照此屢倍積數開立方将所得之數于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體線也 設如有甲乙丙三正方體甲形每邊二寸其積數之比例甲為一分乙為三分丙為四分今欲作一大正方體與甲乙丙三正方體之積等問其邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩防依甲正方體每邊二寸之度展開勿令移動乃并三正方體積共八分即取八分兩防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲乙丙三正方體之共積等也葢八分所作正方體原比一分所作正方體大八倍則八分相距之度所作正方體亦必比一分相距之度所作正方體大八倍矣一分相距之度即甲正方體之一邊其積為一分則以八分相距之度所作正方體其積必為八分與三正方體之共積相等也 設如有大小兩四等面體小體每邊一寸大體每邊三寸今将兩體積相減取其餘積作同式四面體問其邊幾何 法以比例尺分體線第一分之兩防依小體每邊一寸之度展開勿令移動次以大體每邊三寸之度于分體線尋至第二十七分之兩防其相距之度恰合即大形與小形之比例為二十七與一相減餘二十六為較積即取分體線第二十六分兩防相距之度于分厘尺上量之得二寸九分六厘即較體之每一邊也葢大小同式體之比例同于相當界所作正方體之比例【見幾何原本十卷第七節】今二十七分所作正方體與一分所作正方體之比例為二十七與一則二十七分相距之度所作正方體與一分相距之度所作正方體之比例亦必為二十七與一矣夫大小兩距度即大小兩體之相當界其所作兩正方體之比例既為二十七與一則大小兩四面體之比例亦必為二十七與一矣既得兩體之比例乃相減以得較既得較積之比例複用積以求邊即得所求之邊數也 設如有八等面體每邊一尺欲四倍其積作同式八等面體問其每邊幾何 法以比例尺分體線第一分之兩防依分厘尺一寸之度展開勿令移動次取第四分兩防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分九厘即一尺五寸九分為所求體之一邊用其度作八等面體其積與原體之四倍等也葢大小同式體之比例同于相當界所作正方體之比例今一分所作正方體與四分所作正方體之比例為一與四則一分相距之度所作正方體與四分相距之度所作正方體之比例亦必為一與四矣夫一分相距之度即原體之界則以四分相距之度為大體之界其積為原體之四倍可知矣又以一寸當原形邊一尺故一寸五分九厘即為一尺五寸九分也 設如有圓　　　　　　　【依】球徑三尺欲取其積五分之二作同式圓球體問其徑幾 何法以比例尺分體線第五分之兩防分厘尺三寸之度展開勿令移動次取分體線第二分兩防相距之度于分厘尺上量之得二寸二分一厘即二尺二寸一分為所求小體之一邊用其度為 徑作圓　　　　　　　　　　　【依】球體其積為原體五分之二也葢大小同式體之比例同于相當界所作正方體之比例今五分所作正方體與二分所作正方體之比例為五與二則五分相距之