卷三十九

于本線上量之為一百三十分即得?十三尺也葢勾三股四?五為勾股?之定數今以甲戊三十甲丁四十為兩腰而丁戊五十為底則其兩腰相交之甲角必為直角故以今有之勾股數為兩腰而取其底即為所求之?數也若有勾五尺有?十三尺而求股則取本線一百三十分之度自五十分之庚防尋至一百二十分之己防其相離之度恰符即得股十二尺矣 設如有圓徑三十五寸問圓周幾何 法以比例尺平分線第二十一分之丁戊二防【徑率七之三倍也因七分近樞故用三倍之數】依分厘尺三分五厘之度展開勿令移動次取平分線第六十六分之己庚二防相離之度【周率二十二之三倍也因徑率用三倍故周率亦三倍之】于分厘尺上量之得一寸一分即一百一十寸為所求之圓周也葢二十一分之防為丁與戊六十六分之防為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲戊二十一與丁戊三分五厘之比同于甲庚六十六與己庚一寸一分之比而甲戊與甲庚既為徑與周之比例則丁戊與己庚亦必為徑與周之比例矣又甲戊為徑率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一厘當一寸故己庚亦以一厘當一寸其比例俱相當也 分面線 自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十一節之法分之即為分面線也或設正方面界一百厘其積數一萬厘以二因之得二萬厘開平方得一百四十一厘為積二萬厘之根又以三因之得三萬厘開平方得一百七十三厘為積三萬厘之根照此屢倍積數開平方将所得之數于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分面線也 設如有甲乙丙三正方形甲形每邊一寸其積數之比例甲為一分乙為六分丙為九分今欲作一大正方形與甲乙丙三正方形之積等問其邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩防【因甲方之積為一分故用一分也】依甲正方形每邊一寸之度展開勿令移動乃并三正方面積共十六分即取分面線第十六分兩防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲乙丙三正方形之共積等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍則十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一邊其積為一分則以十六分相距之度所作正方形其積必為十六分與三正方形之共積相等也 設如有大小等邊三角形小形每邊一寸大形每邊四寸今欲将兩面積相減取其餘積作同式等邊三角形問其邊幾何 法以比例尺分面線第一分之兩防依小形每邊一寸之度展開勿令移動次以大形每邊四寸之度于分面線上尋至第十六分之兩防其相距之度恰合即大形與小形之比例為十六與一相減餘十五為較積即取分面線第十五分兩防相距之度于分厘尺上量之得三寸八分七厘即較形之每一邊也葢大小同式多邊形之比例同于相當界所作正方形之比例【見幾何原本八卷第九節】今十六分所作正方形與一分所作正方形之比例為十六與一則十六分相距之度所作正方形與一分相距之度所作正方形之比例亦為十六與一矣夫大小兩距度即大小兩三角形之相當界其所作兩正方形之比例既為十六與一則大小兩三角形之比例亦必為十六與一矣既得兩形之比例乃相減以得較既得較積之比例複用積以求邊即得所求之邊數也 設如有五等邊形每邊二尺欲三倍其積作同式五等邊形問其每邊幾何 法以比例尺分面線第一分之兩防依分厘尺二寸之度展開勿令移動次取第三分兩防相距之度于分厘尺上量之得三寸四分五厘即三尺四寸五分為所求大形之每一邊用其度作五等邊形其積與原形之三倍等也葢大小同式形之比例同于相當界所作正方形之比例【見幾何原本八巻第九節】今一分所作正方形與三分所作正方形之比例為一與三則一分相距之度所作正方形與三分相距之度所作正方形之比例亦必為一與三矣夫一分相距之度即原形之界則以三分相距之度為大形之界其積為原形之三倍可知矣又以二寸當原形之邊二尺故三寸四分五厘即為三尺四寸五分也 設如有六等邊形每邊三尺欲取其積四分之三作同式六等邊形問其每邊幾何 法以比例尺分面線第四分之兩防依分厘尺三寸之度展開勿令移動次取分面線第三分兩防相距之度于分厘尺上量之得二寸六分即二尺六寸為所求小形之每一邊用其度作六邊形其積即為原形四分之三也葢大小同式形之比例同于相當界所作正方形之比例今四分所作正方形與三分所作正方形之比例為四與三則四分相距之度所作正方形與三分相距之度所作正方形之比例亦必為四與三矣夫四分相距之度即原形之界則以三分相距之度為小形之界其積為原形四分之三可知矣又以三寸當原形之邊三尺故二寸六分即為二尺六寸也 設如有三率相連比例數首率二尺末率八尺問中率幾何 法以比例尺分面線第二分之兩防依分厘尺二寸之度展開勿令移動次取分面線第八分兩防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四尺為相連比例之中率也葢相連比例三率其首率所作正方形與中率所作正方形之比同于首率與末率之比今首率為二尺末率為八尺則首率所作正方形與中率所作正方形之比例即如二與八之比例故以二分相距之度為首率之數則八分相距之度必為中率之數可知矣又首率用二寸當二尺故中率四寸即為四尺也 設如有正方面積一千六百尺問每一邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩防依分厘尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺與積數一千六百尺相較其比例如一與十六即取分面線第十六分兩防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四十尺為所求正方之每一邊也葢一分之積既為一百尺則十六分之積必為一千六百尺而一分相距之度既為方積一百尺之每一邊則十六分相距之度必為方積一千六百尺之每一邊矣又以一寸當十尺故四寸即為四十尺也 設如有正方面積九千零二十五尺問每一邊幾何法以比例尺分面線第一百分之兩防依分厘尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之一百厘作一百尺自乘得一萬尺與積數九千零二十五尺相較其比例如一百與九十有餘即取分面線第九十分有餘相距之度于分厘尺上量之得九分五厘即九十五尺為所求正方之每一邊也葢一百分之積既為一萬尺則九十分有餘之積必為九千餘尺而一百分相距之度既為方積一萬尺之每一邊則九十分有餘相距之度必為方積九千餘尺之每一邊矣又以一寸當一百尺故九分五厘即為九十五尺也 更面線 自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線設積數一億用面部内面積相等邊線不同之定率比例得各形之邊線其方邊一萬圜徑一萬一千二百八十四三等邊一萬五千一百九十七五等邊七千六百二十四六等邊六千二百零四七等邊五千二百四十六八等邊四千五百五十一九等邊四千零二十二十等邊三千六百零五将各形邊數于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成更面線也 設如有甲圓形徑一尺二寸欲作一正方形其積與圓積等問每邊幾何