卷三十九

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十九 末部九 比例規解【平分線　分面線　更面線分體線　更體線　五金線】 比例規解 比例尺代算凡防線面體乘除開方皆可以規度而得然于畫圖制器尤所必需誠算器之至善者焉究其立法之原總不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各邊皆為相當之率今張尺之兩股為三角形之兩腰其尺末相距即三角形之底遂成兩邊相等之三角形于中任截兩邊相等之各三角形則其各腰之比例必與各底之比例相當也一曰平分線以禦三率一曰分面線一曰更面線以禦面羃一曰分體線一曰更體線以禦體積一曰五金線以禦輕重一曰分圓線一曰正?線一曰正切線一曰正割線以禦測量并制平儀諸器凡此十線或總歸一器或分為數體任意為之無所不可今将各線之分法及用法并着于篇此外又有假數尺即用對數及正?割切諸線之對數為之用于三率比例測量尤為簡捷亦詳其法于後 平分線 自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷十九節之法将甲乙甲丙二線俱平分為二百分即為平分線也尺之長短任意為之尺短則平分一百分尺長則平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也 設如一丁戊線欲加五倍問得幾何 法以比例尺平分線第十分之己庚二防依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第五十分之辛壬二防相離之度作丁癸線即丁戊線之五倍也葢十分之防為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底又五十分之防為辛與壬而甲辛壬為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩三角形為同式形故甲庚與己庚之比同于甲壬與辛壬之比而甲庚與甲壬之比亦同于己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚之五倍則辛壬必為己庚之五倍而丁癸亦為丁戊之五倍可知矣若欲将丁戊線加十五倍則仍以丁戊線度于十分上定尺取平分線第一百五十分之子醜二防相離之度作寅卯線即為丁戊線之十五倍也若欲将丁戊線加三分之二則将平分線第三十分之辰巳二防依丁戊線度展開勿令移動而取平分線第五十分之午未二防相離之度作申酉線即為丁戊線加三分之二也【以丁戊線為三分而加二分共得五分因三與五之防近樞難用故用三十與五十其比例同也】若有丁癸丁戊二線欲定其比例之分數則将平分線第一百分之戌亥二防依丁癸線度展開勿令移動次取丁戊線度尋至平分線第二十分之幹坎二防其相離之度恰符即定為一百分之二十約為五分之一即丁癸丁戊兩線之比例也要之用尺之法不外于三率求四率如以一率為腰二率為底而定尺則三率複為腰而其底即四率也以一率為腰三率為底而定尺則二率複為腰而其底亦即四率也若以一率為底二率為腰而定尺則三率複為底而其腰則四率也諸線之用雖各不同其比例之理則一也 設如一丁戊線欲分為六分問每分幾何 法以比例尺平分線第六十分之己庚二防依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第十分之辛壬二防相離之度截丁戊線于癸則丁癸即丁戊線六分之一也葢六十分之防為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底又十分之防為辛與壬而甲辛壬亦為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩三角形為同式形則甲庚與甲壬之比同于己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚六分之一則辛壬必為己庚六分之一而丁癸亦為丁戊線六分之一可知矣若欲分丁戊線為七分則将平分線第七十分之子醜二防依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第十分之辛壬二防相離之度截丁戊線于寅則丁寅即丁戊線七分之一也又若丁戊線欲取七分之三則仍以丁戊線度于七十分上定尺而取平分線第三十分之卯辰二防相離之度截丁戊線于己則丁己即丁戊線七分之三也 設如有十三人每人給銀七兩問其銀幾何 法以比例尺平分線第十分之丁戊二防依分厘尺七厘之度展開勿令移動次取平分線第一百三十分之己庚二防相離之度于分厘尺上量之得九分一厘即得共銀為九十一兩也葢十分之防為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又一百三十分之防為己與庚而甲己庚亦為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底此兩三角形為同式形故甲戊十分與甲庚一百三十分之比同于丁戊七厘與己庚九分一厘之比也又以十分當一人故以一百三十分當十三人以七厘當七兩故九分一厘即為九十一兩葢十分與一人之比同于一百三十分與十三人之比而 七厘與七兩之比亦同于九分一厘與九 十一兩之比也設如每官一員每月給公費錢二千二百文共給錢八千八百文問官員幾何法以比例尺平分線第二十二分之丁戊二防依分厘尺一分之度展開勿令移動次取平分線第八十八分之己庚二防相離之度于分厘尺上量之得四分即得官四員也葢二十二分之防為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又八十八分之防為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底此兩三角形為同式形故甲戊二十二分與甲庚八十八分之比同于丁戊一分與己庚四分之比也又以二十二分當錢二千二百故以八十八分當錢八千八百以一分當官一員故四分即為官四員葢二十二分與二千二百之比同于八十八分與八千八百之比而一分與一員之比亦同于四分與四員之比也 設如原有粟五鬥易布二疋今有粟三石問易布幾何 法以比例尺平分線第二十分之丁戊二防【四倍五鬥之數因五分近樞難用故用四倍之數也】依分厘尺二分之度展開勿令移動次取平分線第一百二十分之己庚二防相離之度【四倍三石之數三石為三十鬥故四倍之得一百二十也】于分厘尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之防為丁與戊一百二十分之防為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式兩三角形故甲戊二十分與甲庚一百二十分之比同于丁戊二分與己庚一寸二分之比也又以二十分當五鬥為四倍之數故以一百二十分當三石亦為四倍之數以二分當二疋故一寸二分即為十二疋葢二十分與五鬥之比同于一百二十分與三石之比而二分與二疋之比亦同于一寸二分與十二疋之比也 設如有二十七及十八之兩數問其相連比例之三數幾何 法以比例尺平分線第二十七分之丁戊二防依分厘尺一分八厘之度展開勿令移動次取平分線第十八分之己庚二防相離之度于分厘尺上量之得一分二厘即相連比例之第三數為十二也葢二十七分之防為丁與戊十八分之防為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲戊二十七與甲庚十八之比同于丁戊十八與己庚十二之比也丁戊與甲庚既同為十八即連比例之中率則己庚十二為連比例之第三率無疑矣 設如有勾五尺股十二尺問?幾何 法以比例尺平分線甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二防依本線五十分之度展開勿令移動次取平分線甲庚五十分【當勾數】甲己一百二十分【當股數】之己庚二防相離之度