卷三十八

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十八 末部八 對數比例 對數比例 對數比例乃西士若往讷白爾所作以借數與眞數對列成表故名對數表又有恩利格巴理知斯者複加增修行之數十年始至中國其法以加代乘以減代除以加倍代自乘故折半即開平方以三因代再乘故三歸即開立方推之至于諸乘方莫不皆以假數相求而得眞數葢為乘除之數甚繁而以假數代之甚易也其立數之原起于連比例葢比例四率二率與三率相乘一率除之得四率而遞加遞減之四數第二數第三數相加減第一數則得第四數作者有見于此故設假數以加減代乘除之用此表之所以立也然連比例之大者莫如十百千萬葢一與十十與百百與千千與萬萬與十萬其數皆為一而遞進一位取其整齊而無竒零也一為數之始以之乘除數皆不變故一之假數定為○而十之假數定為一百之假數定為二千之假數定為三萬之假數定為四十萬之假數定為五推之百千萬億皆遞加一數此對數之大綱也其間之零數則用中比例累求而得以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數又法用遞乘而得以眞數遞次相乘其乘得之位數即所得之假數此二法者理雖易明而數則甚繁也又有遞次開方一法以眞數遞次開方假數遞次折半至于數十次使彼此皆可為比例而假數由之而生又有相較之一法省開方之多次尤為甚防至于他數之可以乘除得者如二與三相乘而得六則以二之假數與三之假數相加即為六之假數又以二除十而得五則以二之假數與十之假數相減即為五之假數之類其不由乘除而得者則又以累乘累除之法求之此對數之細目也今為推其理考其數先詳作表之原次明用表之法使學者知作者之難而用之甚易甚勿以易而忘其難也 明對數之原之一 凡眞數連比例四率任對設遞加遞減之較相等之四假數其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數即得第四率相對之假數若減第四率相對之假數即得第一率相對之假數 如二四八十六連比例四率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四其遞加遞減之數皆為一以二率四相對之假數二與三率八相對之假數三相加得五内減一率二相對之假數一即得四率十六相對之假數四若減四率十六相對之假數四即得一率二相對之假數一或以二之假數為三四之假數為五八之假數為七十六之假數為九其遞加遞減之數皆為二以二率四相對之假數五與三率八相對之假數七相加内減一率二相對之假數三即得四率十六相對之假數九若減四率十六相對之假數九即得一率二相對之假數三 明對數之原之二 凡眞數連比例三率任對設遞加遞減之較相等之三假數其中率相對之假數倍之内減首率相對之假數即得末率相對之假數若減末率相對之假數即得首率相對之假數 如一三九連比例三率任對設一之假數為四三之假數為五九之假數為六其遞加遞減之數皆為一以中率三相對之假數五倍之得十内減首率一相對之假數四即得末率九相對之假數六若減末率九相對之假數六即得首率一相對之假數四或以一之假數為八三之假數為五九之假數為二其遞加遞減之數皆為三以中率三相對之假數五倍之内減首率一相對之假數八即得末率九相對之假數二若減末率九相對之假數二即得首率一相對之假數八 明對數之原之三 凡眞數連比例幾率任對設遞加遞減之較相等之假數其中隔位取比例四率其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數亦得第四率相對之假數若減第四率相對之假數亦得第一率相對之假數 如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六連比例幾率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四三十二之假數為五六十四之假數為六一百二十八之假數為七二百五十六之假數為八其遞加遞減之數皆為一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相對之假數三與三率六十四相對之假數六相加得九内減一率四相對之假數二即得四率一百二十八相對之假數七若減四率一百二十八相對之假數七即得一率四相對之假數二 明對數之綱之一 凡假數皆可随意而定然一之假數必定為○方與眞數相應而眞數連比例率十百千萬皆為一但遞進一位則其假數亦皆遞加一數 葢乘除之數始于一故一不用乘亦不用除而加減之數始于○故○無可加亦無可減也假數旣以加減代乘除故一之假數必定為○而一與十十與百百與千千與萬萬與十萬皆為加十倍之相連比例率然其數皆為一但遞進一位故一之假數定為○者十之假數即定為一百之假數即定為二千之假數即定為三萬之假數即定為四十萬之假數即定為五百萬之假數即定為六千萬之假數即定為七億之假數即定為八亦皆遞加一數而假數即與位數相同試以一百與一千相乘得十萬為進二位以一百相對之假數二與一千相對之假數三相加即得十萬相對之假數五亦為加二數也以一十除一千得一百為退一位以一十相對之假數一與一千相對之假數三相減即得一百相對之假數二亦為減一數也如或以十之假數定為二百之假數定為四千之假數定為六是為遞加二數未甞不可然眞數進一位者假數則加二數即不得與位數相同矣 明對數之綱之二 凡眞數不同而位數同者其假數雖不同而首位必同眞數相同而遞進幾位者其假數首位必遞加幾數而次位以後卻相同 如自一至九眞數皆為單位則假數首位皆為○故二之假數為○三○一○二九九九五七三之假數為○四七七一二一二五四七四之假數為○六○二○五九九九一三五之假數為○六九八九七○○○四三六之假數為○七七八一五一二五○四首位以後零數遞增至十則首位皆為一至百則首位皆為二至千則首位皆為三至萬則首位皆為四至十萬則首位皆為五如一十一一百一十一千一百一萬一千一十一萬雖遞進一位而其數皆為一一故其假數首位雖遞加一數而次位以後皆同為○四一三九二六八五二 明對數之目用中比例求假數法之一 凡連比例率以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數 如一十為首率一百為中率一千為末率以首率一十與末率一千相乘開平方得一百為中率以首率一十之假數一○○○○○○○○○○與末率一千之假數三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假數葢首率末率相乘與中率自乘之數等以首率末率兩假數相加即與中率之假數加倍之數等故折半為中率之假數也 明對數之目用中比例求假數法之二 凡十百千萬之假數既定而欲求其間零數之假數則以前後相近之兩數一為首率一為末率求得中率之眞數并求得中率之假數累次比例使中率恰得所求之眞數其假數即為所求之假數如求九之假數因九在一與十之間則以一為首率十為末率相乘開方得三一六二二七七七為第一次之中率即以首率一之假數○○○○○○○○○○○與末率十之假數一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○為第一次中率之假數此所得之中率較之首率去九為近故以所得之中率複為首率十為末率相乘開方得五六二三四一三二為第二次之中率即以第二次之首率末率兩假數相加折半得○七五○○○○○○○○為第二次中率之假數又以第二次所得之中率複為首率十為末率相乘開方得七四九八九四二一為第三次之中率即以第三次之首率末率兩假數相加折半得○八七五○○○○○○○為第三次中率之假數又以第三次所得之中率複為首率十為末率相乘開方得八六五九六四三二為第四次之中率即以第四次之首率末率兩假數相加折半得○九三七五○○○○○○為第四次中率之假數又以第四次所得之中率複為首率十為末率相乘開方得九三○五七二○四為第五次之中率即以第五次之首率末率兩假數相加折半得○九六八七五○○○○○為第五次中率之假數此所得之中率較之末率去九為近故以第五次所得之中率複為末率仍以第五次之首率為首率相乘開方得八九七六八七一三為第六次之中率即以第六次首率末率兩假數相加折半得○九五三一二五○○○○為第六次中率之假數由此遞推去九漸近而即以相近之兩率比例相求得第七次之中率為九一三九八一七○其假數為○九六○九三七五○○○第八次之中率為九○一七九七七七其假數為○九五七○三一二五○○第九次之中率為九○一七三三三三其假數為○九五五○七八一二五○第十次之中率為八九九七○七九六其假數為○九五四一○一五六二五第十一次之中率為九○○七二○○八其假數為○九五四五八九八四三七第十二次之中率為九○○二一三八八其假數為○九五四三四五七○三一第十三次之中率為八九九九六○八八其假數為○九五四二二三六三二八第十四次之中率為九○○○八七三七其假數為○九五四二八四六六七九第十五次之中率為九○○○二四一二其假數為○九五四二五四一五○三第十六次之中率為八九九九九二五○其假數為○九五四二三八八九一五第十六次之中率為九○○○○八二一其假數為○九五四二四六五二○九第十八次之中率為九○○○○○四一其假數為○九五四二四二七○六二第十九次之中率為八九九九九六五○其假數為○九五四二四○七九八九第二十次之中率為八九九九九八四五其假數為○九五四二四一七五二六第二十一次之中率為八九九九九九四三其假數為○九五四二四二二二九四第二十二次之中率為八九九九九九九二其假數為○九五四二四二四六七八第二十三次之中率為九○○○○○一六其假數為○九五四二四二五八七○第二十四次之中率為九○○○○○○四其假數為○九五四二四二五二七四第二十五次之中率為八九九九九九九八其假數為○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率則恰得九○○○○○○○其假數為○九五四二四二五一二五即所求之假數也然所得中率雖爲九而七空位之後尚有竒零故所得之假數猶為稍大故開方之位數愈多則所得之假數愈密也 明對數之目用遞次自乘求假數法之一 凡連比例率之自小而大者以第一率之眞數遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次加倍即得加倍各率之假數而以各率之假數按率除之即得第一率之假數 如以二為連比例第一率其假數為○三○一○二九九九五七以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數以第一率之假數○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三為第二率之假數而以第二率之假數用二除之即得第一率之假數又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數以第二率之假數○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六為第四率之假數而以第四率之假數用四除之即得第一率之假數也 明對數之目用遞次自乘求假數法之二 凡連比例率自小而大者其假數之首位旣因眞數之位數而遞加故求假數者以所求之眞數為連比例第一率遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率假數之首位遞次加倍即得加倍各率之假數而眞數自乘又進一位者則假數加倍後又加一數而以各率之假數按次除之