卷三十七

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十七 末部七 難題 難題 算術之學不外于線面體其間比例相求或借根借方等法既已分門别類于前然設問中有纡廻繁襍之不同者非審詳明辨則何以得其統緒茲又探赜鈎深編為難題一卷俾學者殚思觀變以不迷于入算之方庶幾數理之微人心之巧由此引而伸之觸類而長之将以窮天下之變亦不難也 設如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次問三人何日同班 法以三日與四日相乘得十二日再與五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十為三四五皆可以度盡之數三與四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能與丙同班三與五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能與乙同班四與五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能與甲同班惟六十日為甲第二十次值班之日為乙第十五次值班之日為丙第十二次值班之日故為三人同班之日也 設如有錢不知總數以三數之餘二文以五數之餘三文以七數之亦餘二文問錢總數幾何 法先以三數之率定為七十五數之率定為二十一七數之率定為十五乃以三數之率七十與餘二相乘得一百四十以五數之率二十一與餘三相乘得六十三以七數之率十五與餘二相乘得三十三數相并得二百三十三又以三五七遞乘得一百零五于二百三十三内減兩次餘二十三即總錢數也此法以三數之率定為七十者以其用七數五數皆盡惟用三數之餘一也今以餘二相乘得一百四十則是用七數五數皆盡惟用三數之餘二矣以五數之率定為二十一者以其用三數七數皆盡惟用五數之餘一也今以餘三相乘得六十三則是用三數七數皆盡惟用五數之餘三矣以七數之率定為十五者以其用三數五數皆盡惟用七數之餘一也今以餘二相乘得三十則是用三數五數皆盡惟用七數之餘二矣以此三數相并自為三數餘二五數餘三七數餘二之數又以三五七遞乘得一百零五者此數用三五七皆可數盡故二百三十三雖為三數餘二五數餘三七數餘二之數然減去一百零五餘一百二十八以三五七數之其所餘之數仍同也即再減去一百零五餘二十三以三五七數之其所餘之數亦同也是以問數在一百零五以下必二十三如問數在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原數更在二百三十三以上則遞加一百零五求之必有合也至其作率之法不過一乘一減如以三五七命算則以五七相乘得三十五以三減之餘二不可為率以其所餘為二難與他數相乘也故将三十五倍之得七十以三減之餘一故七十即為三數之率三七相乘得二十一以五減之餘一故二十一即為五數之率三五相乘得一十五以七減之餘一故十五即為七數之率或以五數七數九數命算皆仿此例推之 設如三人治田一人日耘七畝一人日耕三畝一人日種五畝今令一人自耕自種自耘問一日治田幾何 法以七畝三畝五畝連乘得一百零五畝為治田總衰數以每日耘七畝除之得十五日為耘田衰數以每日耕三畝除之得三十五日為耕田衰數以每日種五畝除之得二十一日為種田衰數三數相并得七十一日為一率一百零五畝為二率一日為三率得四率一畝四分七厘有餘即每日自耕自種自耘之數也此法葢因一日耘七畝則一百零五畝湏耘十五日一日耕三畝則一百零五畝湏耕三十五日一日種五畝則一百零五畝湏種二十一日并之得七十一日是一人自耕自種自耘治田一百零五畝即知一日治田一畝四分七厘有餘也 設如甲乙二人甲借乙本銀一千二百両已經還訖仍欠四月利銀今乙又借甲銀八百両欲與前利銀抵兌問得月數幾何 法以今借銀八百両為一率原借銀一千二百両為二率原欠利銀四月作一百二十日為三率得四率一百八十日以三十日歸之得六月為所求之日數也葢甲借乙之銀數多故月數少乙借甲之銀數少故月數多而其利相等為轉比例四率也 設如原買小布一疋長一丈八尺闊一尺三寸價一錢一分七厘今買大布一疋長二丈五尺闊一尺六寸問價幾何 法以原布長一丈八尺闊一尺三寸相乘得二十三尺四十寸為一率價一錢一分七厘為二率今布長二丈五尺闊一尺六寸相乘得四十尺為三率求得四率二錢即今布之價也凡物惟長不同或惟闊不同則各以其長闊為比例今長闊俱不同故以其長闊各相乘為面與面之比例也 設如有銀三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両問四人各得銀數幾何 法先以總銀三百九十六両内減去甲多十両丙多八両餘三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両為各分之總銀數乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四連乘之得一百二十為總衰數于總衰一百二十内取二分之一得六十為甲衰取五分之三得七十二為乙衰取三分之一得四十為丙衰取四分之一得三十為丁衰并之得二百零二衰為一率以各分總銀數四百零四両為二率一衰為三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之銀數用乙衰七十二乘之得一百四十四両内減所少二十両餘一百二十四両即乙所分之銀數用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之銀數用丁衰三十乘之得六十両減所少六両餘五十四両即丁所分之銀數将四人所分之銀并之得三百九十六両以合原數也 設如甲乙丙三商貨殖二年共得利銀八千五百八十両甲原出本銀三千両至滿八月収回一千両至滿十九月又添一千二百兩乙原出本銀二千四百両至滿六月収回八百両至滿十五月又添一千四百両丙原出本銀二千両滿七月悉収回至滿十七月别出本銀一千六百両問各人分得利銀若幹 法以甲本銀三千両與八月相乘【滿八月収回一千両是八月以前皆為三千両】得二萬四千両又以収回一千両與原本銀三千両相減餘二千両以八月與十九月相減餘十一月【八月収回一千両餘二千両十九月後方添一千二百両則是八月以後十九月以前此十一月皆為二千両】以十一月與二千両相乘得二萬二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月與二年之二十四月相減餘五月【十九月後添一千二百両是十九月以後二十四月以前此五月皆為三千二百両】以五月與三千二百両相乘得一萬六千両以三得數相并共六萬二千両為甲之共衰數乙本銀二千四百両與六月相乘【滿六月収回八百両是六月以前皆為二千四百両】得一萬四千四百両又以収回八百両與原本銀二千四百両相減餘一千六百両以六月與十五月相減餘九月【六月後収回八百両餘一千六百両十五月後方添一千四百両是六月以後十五月以前此九月皆為一千六百両】以九月與一千六百両相乘得一萬四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月與二年之二十四月相減餘九月【十五月後添一千四百両是十五月以後二十四月以前此九月皆為三千両】以九月與三千両相乘得二萬七千両三數相并共五萬五千八百両為乙之共衰數丙本銀二千両與七月相乘【滿七月悉収回則七月以前皆為二千両】得一萬四千両又以十七月與二十四月相減餘七月與别出本銀一千六百両相乘【七月悉収回不算外至第十七月方出本一千六百両是十七月以後二十四月以前止七月也】得一萬一千二百両二數相并共二萬五千二百両為丙之共衰數以甲乙丙三衰數相并【甲六萬二千乙五萬五千八百丙二萬五千二百】共得一十四萬三千両為一率總利銀八千五百八十両為二率一両為三率求得四率六分以各人衰數乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両為各人所得利銀之數也 設如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重幾何 法用一木杆結系于中両端令平乃以大石挂于一端以小石作砣稱之如大石距提系一寸小石距提系六寸得平則以一寸為一率小石重四両為二率六寸為三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙為大石距提系一寸甲丙為小石距提系六寸丁為大石戊為小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙與戊小石之比同于甲丙與丁大石之比也 設如有銀大小二錠共重十五両求大小錠各重幾何 法用一木杆結系于中両端令平乃以大錠小錠各挂一端如大錠距提系四寸小錠距提系六寸得平則以四寸六寸相加得十寸為一率共重十五両為二率大錠距提系四寸為三率得四率六両即小錠之重如以小錠距提系六寸為三率則得四率九両即大錠之重也如圗甲乙為大錠距提系四寸甲丙為小錠距提系六寸故以甲乙甲丙共分與丁戊共重之比同于甲乙與戊小錠之比亦同于甲丙與丁大錠之比也 設如以戥稱銀戥數不足将砣上加四兩稱之得二百兩原砣重八兩問銀實重幾何 法以原砣重八兩爲一率又以原砣八兩與加四兩相并得十二兩爲二率以今稱二百兩爲三率得四率三百兩爲原銀之重數也如圖甲乙爲二百兩之分丙爲砣重十二兩試将甲乙戥衡引長至丁甲丁爲三百兩之分戊爲原砣重八兩甲乙乗丙砣卽與甲丁乗戊砣之數等故以戊砣與甲乙之比同于丙砣與甲丁之比爲轉比例四率也 設如戥子失去墜砣欲配一砣不知輕重以重三兩之物用六錢之砣稱之得四兩問原砣重幾何法以原重三兩爲一率今稱得四兩爲二率今砣重六錢爲三率求得四率八錢卽原砣之重也如圖甲乙爲戥盤距提系之分丙爲物重甲丁爲三兩之分戊為原砣甲己為四両之分庚為今砣以比例論之甲乙與戊砣之比同于甲丁與丙重之比又甲乙與庚砣之比同于甲己與丙重之比是甲丁乘戊砣即與甲己乘庚砣之數等故以甲丁與庚砣之比即同于甲己與戊砣之比為轉比例四率也 設如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水幾何 法以木闆一塊置于水面用騐時儀墜子候之看六十秒内木闆流逺幾丈如流逺十丈即以十丈變為一百尺乃以河上寛十尺與下寛六尺相加折半得八尺與河深五尺相乘得四十尺又與木闆流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之數又以六十秒収為一分為一率水流四千尺為二率以每日二十四小時化為一千四百四十分【一小時為四刻一刻為十五分】為三率求得四率五千七百六十萬尺即一日内所流之數也此法先用木闆以騐所流之緩急水急則木随水流亦急水緩則木随水流亦緩看木之緩急即知水流之多少故先求得河口面積再以逺乘之即得水流之積數也 設如有房一所不知間數亦不知房價但雲每房六間每年租銀二十四両五年後适得本銀每房八間每年租銀三十五両八年後得本銀外又得利銀二千一百六十両問房數房價各幾何 法以五年與每年二十四両相乘得一百二十両以八年