卷三十六
關燈
小
中
大
欽定四庫全書
禦制數理精蘊下編卷三十六
末部六
借根方比例【體類】
體類
設如有扁方體髙十八尺若将體積加六倍則髙與長闊皆相等問長闊之各一邊及體積幾何法借一根為長闊之各一邊數以一根自乘得一平方為扁方體之面積再以髙十八尺乘之得十八平方為扁方體之體積又以一根與一平方相乘得一立方為扁方體積之六倍乃以扁方體之體積十八平方六因之得一百零八平方是為一立方與一百零八平方相等兩邊各降二位得一根與一百零八尺相等卽扁方體之長闊各一邊數也以一百零八尺自乘得一萬一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十萬零九千九百五十二尺為扁方體積六因之得一百二十五萬九千七百一十二尺與毎邊一百零八尺自乘再乘之立方積相等此扁方體邊線比例法也葢兩體之底面積旣同則其體積之比例同于其髙之比例今扁方體之長闊各一邊旣與正方體之毎一邊等而正方體積為扁方體積之六倍則其髙亦必為六倍故以扁方體之髙數六因之卽得長闊之各一邊數也
設如有一長方體髙三尺五寸又有一正方體其每一面積與長方體之底面積等而長方體積為正方體積之五倍問正方體之一邊及體積各幾何法借一根為正方體毎邊之數以一根自乘得一平方為正方體之面積亦卽長方體之底面積以一平方與髙三十五寸相乘得三十五平方為長方體之體積又以一根自乘再乘得一立方為正方體之體積長方體積旣為正方體之五倍乃以一立方五因之得五立方而與三十五平方為相等兩邊各降二位得五根與三十五寸相等五根旣與三十五寸相等則一根必與七寸相等卽正方體之毎一邊之數也以七寸自乘再乘得三百四十三寸卽正方體之體積又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸卽長方體之體積為正方體積之五倍此一長方體一正方體同底比例法也葢兩體之底面積旣同則其體積之比例同于其髙之比例今正方體之每一面積旣與長方體之底面積等而長方體積為正方體積之五倍則其髙亦必為五倍故長方體之髙之五分之一卽正方體之毎一邊之數也
設如有一正方面形又有一正方體形但知正方面毎邊為正方體毎邊之八倍而正方面積與正方體積相等問邊線積數各若幹
法借一根為正方體毎邊之數則正方面毎邊之數為八根以一根自乘再乘得一立方為正方體積以八根自乘得六十四平方為正方面積是為一立方與六十四平方相等兩邊各降二位得一根與六十四尺相等卽正方體毎邊之數八因之得五百一十二尺卽正方面毎邊之數以五百一十二尺自乘得二十六萬二千一百四十四尺為正方面積以六十四尺自乘再乘亦得二十六萬二千一百四十四尺為正方體積兩數相等也【此一平方一立方邊數積數比例法】
設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同于四與六闊與長之比例同于六與九其髙與闊相乘之數為長數之四倍問髙闊長各幾何
法借四根為髙數六根為闊數九根為長數以髙四根與闊六根相乘得二十四平方為長數之四倍乃以長數九根四因之得三十六根是為二十四平方與三十六根相等兩邊各降一位得二十四根與三十六尺相等二十四根旣與三十六尺相等則四根必與六尺相等卽髙數六根必與九尺相等卽闊數九根必與一十三尺五寸相等卽長數以髙六尺與闊九尺相乘得五十四尺四歸之得一十三尺五寸與長數相等也【此帶兩縱不同立方邊線面積比例法】
設如有帶兩縱不同立方體長二十四尺髙與闊和五十二尺其髙與闊相乘之積與長自乘之積等問髙闊各若幹
法借一根為髙數則闊數為五十二尺少一根以髙一根與闊五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以長二十四尺自乘得五百七十六尺此二數為相等乃以五百七十六尺為長方積以五十二根作五十二尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十六尺為一根之數卽立方之髙數與髙闊和五十二尺相減餘三十六尺卽立方之闊數以髙十六尺與闊三十六尺相乘得五百七十六尺與長二十四尺自乘之數相等也【此帶兩縱不同立方邊線與面積比例法】
設如有帶兩縱不同立方體髙十二寸長比闊多十寸其長與闊相乘之積與髙自乘之積等問長闊各若幹
法借一根為闊數則長數為一根多十寸以闊一根與長一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二數為相等乃以一百四十四寸為長方積以十根作十寸為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸為一根之數卽立方之闊數加長比闊多十寸得十八寸卽立方之長數以闊八寸與長十八寸相乘得一百四十四寸與髙十二寸自乘之數相等也【此帶兩縱不同立方邊較與面積比例法】
設如有帶兩縱不同立方體長比闊多四寸闊比髙多二寸其體積比髙自乘再乘之正方體多一百七十六寸問長闊髙各幾何
法借一根為髙數則闊數為一根多二寸長數為一根多六寸以髙一根與闊一根多二寸相乘得一平方多二根再以長一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内減髙數一根自乘再乘之一立方餘八平方多十二根與一百七十六寸相等八平方多十二根旣與一百七十六寸相等則一平方多一根半必與二十二寸相等乃以二十二寸為長方積以一根半作一寸五分為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸為一根之數卽立方之髙數加闊比髙多二寸得六寸卽立方之闊數再加長比闊多四寸得十寸卽立方之長數以長闊相乘以髙再乘得二百四十寸為立方體積内減髙四寸自乘再乘之六十四寸餘一百七十六寸以合原數也【此帶兩縱不同立方邊較與積較比例法】
設如一長方池深二十尺長闊和六十尺其體積一萬七千二百八十尺問長闊各若幹
法借一根為闊數則長數為六十尺少一根以闊一根與長六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方與一萬七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方旣與一萬七千二百八十尺相等則六十根少一平方必與八百六十四尺相等乃以八百六十四尺為長方積以六十根作六十尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十四尺為一根之數卽池之闊數與長闊和六十尺相減餘三十六尺卽池之長數以長闊相乘以深再乘得一萬七千二百八十尺以合原數也【此帶兩縱不同立方知一邊與兩邊和相求法】
設如一長方池深三十尺長比闊多十尺其體積七萬一千二百八十尺問長闊各若幹
法借一根為闊數則長數為一根多十尺以闊一根與長一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根與七萬一千二百八十尺相等三十平方多三百根旣與七萬一千二百八十尺相等則一平方多十根必與二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺為長方積以十根作十尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四十四尺為一根之數卽池之闊數加長比闊多十尺得五十四尺卽池之長數也以長闊相乘以深再乘得七萬一千二百八十尺以合原數也【此帶兩縱不同立方知一邊與兩邊較相求法】
設如有帶兩縱不同立方體長闊髙共五十八尺長比闊多六尺其對角斜線自乘之數為一千一百五十六尺問長闊髙各幾何
法借一根為闊數則長數為一根多六尺以長闊兩數相加得二根多六尺與長闊髙共五十八尺相減餘五十二尺少二根為髙數以闊一根自乘得一平方為闊自乘之數以長一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為長自乘之數以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方為髙自乘之數三自乘數相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方與對角線自乘之一千一百五十六尺相等兩邊各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方與一千一百五十六
