卷三十五

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十五 末部五 借根方比例【面類】 面類 設如大小兩正方面積共二百一十八尺其大方面積比小方面積多一百二十尺問大小方面積各幾何 法借一根為小方面毎邊之數自乘得一平方為小方面積則大方面積為一平方多一百二十尺兩數相加得二平方多一百二十尺與共積二百一十八尺相等一百二十尺與二百一十八尺各減去一百二十尺餘二平方與九十八尺相等二平方旣與九十八尺相等則一平方必與四十九尺相等卽小方面積加一百二十尺得一百六十九尺卽大方面積也【此卽減法因面類之首故設此最易者焉】 設如甲乙二長方面積共三百尺甲長八尺乙長二丈四尺其甲闊比乙闊為二倍問二長方闊數積數各幾何 法借一根為乙之闊數則甲之闊為二根以一根與一丈四尺相乘得十四根為乙之面積以二根與八尺相乘得十六根為甲之面積相加得三十根與三百尺相等三十根旣與三百尺相等則一根必與十尺相等卽乙之闊數與長一丈四尺相乘得一百四十尺為乙之面積于共積三百尺内減之餘一百六十尺為甲之面積或倍乙之闊十尺得二十尺為甲之闊與長八尺相乘亦得一百六十尺為甲之面積也【此歸除法】 設如有甲乙丙三長方甲方闊十尺不知長乙方闊十六尺長與甲等丙方闊四尺面積與甲之長相等又甲乙二方之共面積與丙方之長數相并為三千一百五十尺問三方各長若幹 法借一根為甲方之長數以闊十尺乘之得十根為甲方之面積乙方之長與甲等亦為一根以闊十六尺乘之得十六根為乙方之面積丙方之面積與甲之長相等亦為一根以闊四尺除之得四分根之一為丙方之長數以甲方之面積十根乙方之面積十六根丙方之長數四分根之一相并共得二十六根又四分根之一與三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一旣與三千一百五十尺相等則一根必與一百二十尺相等卽甲方之長數亦卽乙方之長數亦卽丙方之面積以甲方闊十尺與長一百二十尺相乘得一千二百尺卽甲方之面積以乙方闊十六尺與長一百二十尺相乘得一千九百二十尺卽乙方之面積以丙方闊四尺除面積一百二十尺得三十尺卽丙方之長數也【此歸除法】 設如有長方形其長闊和五百零四丈面積為闊自乘之七倍問長闊各幾何 法借一根為闊數則長數為五百零四丈少一根以一根與五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方為長方面積又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦為長方面積而與五百零四根少一平方相等兩邊各加一平方得八平方與五百零四根相等八平方與五百零四根各降一位則為八根與五百零四丈相等八根旣與五百零四丈相等則一根必與六十三丈相等卽長方之闊數與五百零四丈相減餘四百四十一丈卽長數也以闊六十三丈自乘得三千九百六十九丈以闊六十三丈與長四百四十一丈相乘得二萬七千七百八十三丈為闊自乘之七倍也【此比例法】 設如有樓一座不知髙數正方池一面不知邊數但雲以六丈與樓之髙數相乘與池之邊數等以一百零八丈與樓之髙數相乘與池之面積等問樓髙及池邊數各幾何 法借一根為樓之髙數以一根與六丈相乘得六根為池之邊數自乘得三十六平方為池之面積又以一根與一百零八丈相乘得一百零八根亦為池之面積是為三十六平方與一百零八根相等三十六平方與一百零八根各降一位則為三十六根與一百零八丈相等三十六根旣與一百零八丈相等則一根必與三丈相等卽樓之髙數以六丈乘之得一十八丈為池之邊數自乘得三百二十四丈為池之面積又以一百零八丈與樓髙三丈相乘亦得三百二十四丈與池之面積相等也【此面積相除法】 設如甲乙二人有銀不言兩數但知其銀之比例同于八與五若以二人銀相并則與二人銀相乘之數等問二人銀各若幹 法借八根為甲銀數五根為乙銀數相乘得四十平方又以八根與五根相加得一十三根是為四十平方與十三根相等四十平方與十三根各降一位則為四十根與十三兩相等四十根旣與十三兩相等則八根必與二兩六錢相等卽甲銀數五根必與一兩六錢二分五厘相等卽乙銀數兩數相加得四兩二錢二分五厘若以兩數相乘亦得四兩二錢二分五厘也【此比例法】 設如有大小二正方池小池毎邊為大池毎邊之三分之一二池共邊數為二池共面積之五十分之一問二池邊數面積各幾何 法借一根為小池毎邊之數則大池毎池之數為三根兩邊數相加得四根又以一根自乘得一平方為小池面積以三根自乘得九平方為大池面積兩面積相加得十平方為二池共邊之五十倍乃以共邊四根以五十乘之得二百根是為十平方與二百根相等十平方與二百根各降一位則為十根與二百丈相等十根旣與二百丈相等則一根必與二十丈相等卽小池毎邊之數三因之得六十丈卽大池毎邊之數也兩邊數相加得八十丈又以小池毎邊二十丈自乘得四百丈為小池面積以大池毎邊六十丈自乘得三千六百丈為大池面積兩面積相加得四千丈為共邊之五十倍也【此二正方邊線面積比例法】 設如有甲乙丙三正方乙方毎邊為甲方毎邊之四分之一丙方毎邊為甲方毎邊之八分之一而乙丙兩方之共面積為甲方毎邊之十倍問三方邊數面積各幾何 法借八根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為二根丙方毎邊之數為一根以二根自乘得四平方為乙方面積以一根自乘得一平方為丙方面積兩面積相加得五平方為甲方毎邊之十倍乃以甲方毎邊八根十因之得八十根是為五平方與八十根相等五平方與八十根各降一位則為五根與八十尺相等五根旣與八十尺相等則一根必與十六尺相等卽丙方毎邊之數倍之得三十二尺卽乙方毎邊之數八因之得一百二十八尺卽甲方毎邊之數也以乙方每邊三十二尺自乘得一千零二十四尺為乙方面積以丙方毎邊十六尺自乘得二百五十六尺為丙方面積兩面積相加得一千二百八十尺為甲方毎邊之十倍也【此三正方邊線面積比例法】 設如有甲乙二正方甲方為乙方毎邊之三倍以甲方邊四分之一與乙方面積相乘則與甲方面積等問二方邊數面積各幾何 法借十二根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為四根以十二根自乘得一百四十四平方為甲方面積以四根自乘得一十六平方為乙方面積取甲方邊四分之一三根與乙方面積一十六平方相乘得四十八立方是為四十八立方與一百四十四平方相等四十八立方與一百四十四平方各降二位則為四十八根與一百四十四尺相等四十八根旣與一百四十四尺相等則十二根必與三十六尺相等卽甲方毎邊之數三歸之得十二尺卽乙方毎邊之數也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺卽甲方之面積以十二尺自乘得一百四十四尺卽乙方之面積以甲方毎邊四分之一九尺與乙方面積相乘得一千二百九十六尺與甲方面積相等也【此二正方邊線面積比例法】 設如有大小二正方大方邊與小方邊之比例同于五與三大方面積比小方面積多二千三百零四丈問大小二方邊各幾何 法借三根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為五根以三根自乘得九平方為小方之面積以五根自乘得二十五平方為大方之面積二面積相減餘一十六平方與二千三百零四丈相等一十六平方旣與二千三百零四丈相等則一平方必與一百四十四丈相等開平方得一十二丈為一根之數三因之得三十六丈卽小方毎邊之數五因之得六十丈卽大方毎邊之數以三十六丈自乘得一千二百九十六丈為小方面積以六十丈自乘得三千六百丈為大方面積兩面積相減餘二千三百零四丈以合原數也【此二正方比例開平方法】 設如有甲乙二正方甲方毎