卷三十五

邊為乙方毎邊之三倍又有丙一長方其長與甲方之毎邊等其闊與乙方之毎邊等三方面積共二萬零八百丈問三方邊數面積各若幹 法借一根為乙方毎邊之數則甲方毎邊之數為三根以一根自乘得一平方為乙方之面積以三根自乘得九平方為甲方之面積以一根與三根相乘得三平方為丙方之面積三面積相加得一十三平方與二萬零八百丈相等十三平方旣與二萬零八百丈相等則一平方必與一千六百丈相等卽乙方之面積開平方得四十丈為一根之數卽乙方毎邊之數三因之得一百二十丈卽甲方毎邊之數以一百二十丈自乘得一萬四千四百丈卽甲方之面積以四十丈與一百二十丈相乘得四千八百丈卽丙方之面積三面積相并共得二萬零八百丈以合原數也【此二正方比例開平方法】 設如有兵二萬九千四百八十四名欲排作三軍俱為正方第二軍每邊比第一軍每邊為三倍第三軍每邊比第二軍每邊亦為三倍問三軍兵數各若幹 法借一根為第一軍每邊之數則第二軍每邊之數為三根第三軍毎邊之數為九根以一根自乘得一平方為第一軍之總數以三根自乘得九平方為第二軍之總數以九根自乘得八十一平方為第三軍之總數三總數相加得九十一平方與二萬九千四百八十四相等九十一平方旣與二萬九千四百八十四相等則一平方必與三百二十四相等卽第一軍之總數開平方得十八為一根之數卽第一軍每邊之數也以第一軍毎邊之數用三乘之得五十四卽第二軍毎邊之數以第一軍之總數用九乘之得二千九百一十六卽第二軍之總數又以第一軍毎邊之數用九乘之得一百六十二卽第三軍每邊之數以第一軍之總數用八十一乘之得二萬六千二百四十四卽第三軍之總數三總數相加共二萬九千四百八十四以合原數也【此三正方比例開平方法】 設如一正方一長方俱不知其邊數但知長方之面積為八萬一千尺其長為正方邊之十五分之二其闊為正方邊之二十五分之三問二方邊各若幹 法借一根為正方每邊之數則長方之長為十五分根之二長方之闊為二十五分根之三以正方邊一根自乘得一平方為正方之面積以長方之長闊相乘得三百七十五分平方之六【以兩分母十五與二十五相乘得三百七十五以兩分子二與三相乘得六故為三百七十五之六】為長方面積是為三百七十五分平方之六與八萬一千尺相等乃以六分為一率八萬一千尺為二率三百七十五分為三率求得四率五百零六萬二千五百尺與一平方相等【葢三百七十五分平方之六者将一平方分為三百七十五分而得其六分也六分旣為八萬一千尺則三百七十五分必為五百零六萬二千五百尺也】開平方得二千二百五十尺為一根之數卽正方每邊之數其十五分之二為三百尺卽長方之長其二十五分之三為二百七十尺卽長方之闊相乘得八萬一千尺以合原數也【此帶分比例開平方法】 設如有大小二正方大方比小方毎邊多六尺面積多一千七百一十六尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方每邊之數則大方每邊之數為一根多六尺以一根自乘得一平方為小方之面積以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為大方之面積大方旣比小方面積多一千七百一十六尺則以小方之面積一平方加一千七百一十六尺與大方之面積一平方多十二根多三十六尺相等兩邊各減去一平方又各減三十六尺得十二根與一千六百八十尺相等十二根旣與一千六百八十尺相等則一根必與一百四十尺相等卽小方毎邊之數加六尺得一百四十六尺卽大方每邊之數以一百四十尺自乘得一萬九千六百尺卽小方之面積以一百四十六尺自乘得二萬一千三百一十六尺卽大方之面積兩面積相減餘一千七百一十六尺以合原數也【此二正方有邊較積較求邊法】 設如有大小二正方大方比小方每邊多二十四尺面積共七千二百五十尺問二方邊數面積各幾何 法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多二十四尺以一根自乘得一平方為小方之面積以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺為大方之面積兩面積相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺與七千二百五十尺相等兩邊各減五百七十六尺得二平方多四十八根與六千六百七十四尺相等二平方多四十八根旣與六千六百七十四尺相等則一平方多二十四根必與三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺為長方積以二十四根作二【七千二百】【五十尺以合原】十四尺為長闊較用帶縱較 數開平方法算之得闊四十七尺為一根之數卽小方每邊之數加二十四尺得七十一尺卽大方　　　每邊之數以四十七尺自乘得二千二百零九尺卽小方之面積以七十一尺自乘得五千零四十一尺卽大方之面積兩面積相加共七【數也此二正方有邊和求邊法】 設如有大小二正方邊數共三十六尺面積共六百六十六尺問二方邊數面積各幾何 法借一根為小方毎邊之數則大方每邊之數為三十六尺少一根以一根自乘得一平方為小方之面積以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方為大方之面積兩面積相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方與六百六十六尺相等兩邊各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方與六百六十六尺多七十二根相等兩邊各減六百六十六尺得六百三十尺多二平方與七十二根相等六百三十尺多二平方旣與七十二根相等則三百一十五尺多一平方必與三十六根相等乃以三百一十五尺為長方積以三十六根作三十六尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊一十五尺為一根之數卽小方每邊之數與共邊三十六尺相減餘二十一尺卽大方毎邊之數以小方每邊一十五尺自乘得二百二十五尺卽小方之面積以大方每邊二十一尺自乘得四百四十一尺卽大方之面積兩面積相加共六百六十六尺以合原數也【此二正方有邊和積和求邊法】 設如有大小二正方邊數共一百一十尺大方比小方面積為五倍少四尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一百一十尺少一根以一根自乘得一平方為小方之面積以一百一十尺少一根自乘得一萬二千一百尺少二百二十根多一平方為大方之面積大方旣比小方面積為五倍少四尺則将小方加五倍将大方加四尺是為五平方與一萬二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等兩邊各減一平方得四平方與一萬二千一百零四尺少二百二十根相等四平方旣與一萬二千一百零四尺少二百二十根相等則一平方必與三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺為長方積以五十五根作五十五尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊三十四尺為一根之數卽小方每邊之數與共邊一百一十尺相減餘七十六尺卽大方毎邊之數以三十四尺自乘得一千一百五十六尺卽小方之面積以七十六尺自乘得五千七百七十六尺卽大方之面積再加四尺得五千七百八十尺為小方面積一千一百五十六尺之五倍也【此亦二正方有邊和積較法但積較有倍分耳】 設如有一長方又有大小二正方三面積共四百四十一丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長方之闊等但知小正方邊為九丈問大正方邊若幹 法借一根為大方毎邊之數自乘得一平方為大方之面積以九丈自乘得八十一丈為小方之面積以九丈與一根相乘得九根為長方之面積三面積相加得一平方多九根又多八十一丈與四百四十一丈相等兩邊各減八十一丈得一平方多九根與三百六十丈相等乃以三百六十丈為長方積以九根作九丈為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十五丈為一根之數卽大方毎邊之數以十五丈自乘得二百二十五丈卽大方之面積以十五丈與九丈相乘得一百三十五丈卽長方之面積三面積相并共得四百四十一丈以合原數也