卷三十五

【此帶縱較數開平方法】 設如有一長方又有大小二正方三面積共四百五十七丈長方之長與大正方邊等長方之闊與小正方邊等長闊共二十四丈問長闊各幾何法借一根為長方之闊則長方之長為二十四丈少一根以一根自乘得一平方為小正方之面積以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方為大正方之面積以一根與二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方為長方之面積三面積相加得一平方多五百七十六丈少二十四根與四百五十七丈相等兩邊各加二十四根得一平方多五百七十六丈與二十四根多四百五十七丈相等兩邊各減四百五十七丈得一平方多一百一十九丈與二十四根相等乃以一百一十九丈為長方積以二十四根作二十四丈為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊七丈為一根之數卽長方之闊與二十四丈相減餘一十七丈卽長方之長以七丈自乘得四十九丈卽小正方之面積以一十七丈自乘得二百八十九丈卽大正方之面積以七丈與一十七丈相乘得一百一十九丈卽長方之面積三面積相并共得四百五十七丈以合原數也【此帶縱和數開平方法】 設如有一長方其面積八萬三千二百三十二丈又有一正方其毎邊與長方之闊等若以正方面積自乘則與兩方之共面積等問二方邊數各若幹法借一根為正方之面積自乘得一平方為正方面積自乘之數又以一根與八萬三千二百三十二丈相加得一根多八萬三千二百三十二丈與一平方相等乃以八萬三千二百三十二丈為長方積以一根作一丈為長闊較用帶縱較數開平方法算之得長二百八十九丈為一根之數卽正方之面積亦卽長方之長開平方得一十七丈卽正方之邊亦卽長方之闊以正方面積二百八十九丈與長方面積八萬三千二百三十二丈相并共得八萬三千五百二十一丈又以正方面積二百八十九丈自乘亦得八萬三千五百二十一丈是與兩方之共面積相等也【此帶縱較數開平方法】 設如有銀買駝馬共六十一匹駝毎匹之價與共駝數等馬毎匹之價與共馬數等今賣馬一匹之價與共駝數等賣駝一匹之價為共馬數之二倍共得利銀七百一十九兩問駝數馬數及毎匹價各若幹 法借一根為共馬數則六十一匹少一根為共駝數以共馬數一根自乘得一平方為買馬之共價以共駝數六十一匹少一根自乘得三千七百二十一兩少一百二十二根多一平方為買駝之共價兩共價相加得三千七百二十一兩少一百二十二根多二平方為買駝馬之總銀數又以共馬數一根與共駝數六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方為賣馬之共銀數以共駝數六十一匹少一根與二倍共馬數二根相乘得一百二十二根少二平方為賣駝之共銀數兩共銀數相加得一百八十三根少三平方為賣駝馬之總銀數内減買駝馬總銀數三千七百二十一兩少一百二十二根多一平方餘三百零五根少五平方又少三千七百二十一兩與利銀七百一十九兩相等兩邊各加三千七百二十一兩得三百零五根少五平方與四千四百四十兩相等三百零五根少五平方旣與四千四百四十兩相等則六十一根少一平方必與八百八十八兩相等乃以八百八十八兩為長方積以六十一根作六十一為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十四為一根之數卽共馬數亦卽馬毎匹之價為二十四兩也以二十四匹與六十一匹相減餘三十七匹卽共駝數亦卽駝毎匹之價為三十七兩也以二十四匹與二十四兩相乘得五百七十六兩為買馬之共銀數以三十七匹與三十七兩相乘得一千三百六十九兩為買駝之共銀數相加得一千九百四十五兩卽買駝馬之總銀數以二十四匹與三十七兩相乘得八百八十八兩為賣馬之共銀數以三十七匹與四十八兩相乘得一千七百七十六兩為賣駝之共銀數相加得二千六百六十四兩卽賣駝馬之總銀數比買駝馬之總銀數多七百一十九兩為利銀數也【此帶縱和數開平方法】 設如有木匠瓦匠共三十名又有匠頭不知名數但知毎匠頭一人得銀三十六兩其木匠一人之銀數與瓦匠之人數等瓦匠一人之銀數與木匠之人數等而匠頭之人數與木匠瓦匠相差之數等匠頭之共銀數與木匠之共銀數等問匠頭與木匠瓦匠之人數及毎人所得之銀數各幾何法借一根為木匠之人數則瓦匠之人數為三十少一根以一根與三十少一根相乘得三十根少一平方為木匠之共銀數亦為瓦匠之共銀數又以木匠之人數一根與瓦匠之人數三十少一根相減得三十少二根為匠頭之人數與毎人三十六兩相乘得一千零八十兩少七十二根為匠頭之總銀數與木匠之共銀數三十根少一平方相等兩邊各加七十二根得一百零二根少一平方與一千零八十兩相等乃以一千零八十兩為長方積以一百零二根作一百零二為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊一十二為一根之數卽木匠之人數以一十二人與三十人相減餘一十八人卽瓦匠之人數以十二與十八相乘得二百一十六兩卽木匠之共銀數亦卽瓦匠之共銀數以十二與十八相減餘六卽匠頭之人數與三十六兩相乘亦得二十一十六兩卽匠頭之共銀數與木匠之共銀數等也【此帶縱和數開平方法】 設如有馬騾防物不言馬騾共數亦不言馬騾各數但知馬比騾多十匹馬共防一萬二千斤騾亦共防一萬二千斤而騾一匹所防之數比馬一匹所防之數多四十斤問馬騾數及所防數各若幹法借一根為騾數則馬數為一根多十匹以一根除一萬二千斤得一根之一萬二千斤為騾一匹所防之數以一根多十匹除一萬二千斤得一根多十匹之一萬二千斤為馬一匹所防之數因兩分母不同乃用互乘法以齊其分将馬分母一根多十匹與騾分子一萬二千斤相乘得一萬二千根多一十二萬斤以騾分母一根與馬分子一萬二千斤相乘得一萬二千根以互乘所得兩分子相減餘一十二萬斤為騾比馬多防之數又以馬分母一根多十匹與騾分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦為騾比馬多防之數是為四十平方多四百根與一十二萬斤相等四十平方多四百根旣與一十二萬斤相等則一平方多十根必與三千斤相等乃以三千為長方積以十根作一十為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊五十為一根之數卽騾數加十匹得六十匹卽馬數以五十匹除一萬二千斤得二百四十斤卽騾一匹所防之數以六十匹除一萬二千斤得二百斤卽馬一匹所防之數也【此帶縱較數開平方法】 設如有數一十萬欲分為大小兩分與全分為相連比例三率問大小兩分各幾何 法借一根為大分則小分為十萬少一根是全分十萬為首率而一根為中率十萬少一根為末率矣乃以首率十萬與末率十萬少一根相乘得一百億少十萬根而與中率一根自乘之一平方相等乃以一百億為長方積十萬根作十萬為長闊數用帶縱較數開平方法算之得闊六萬一千八百零三為一根之數卽大分與全分十萬相減餘三萬八千一百九十七卽小分也葢十萬與六萬一千八百零三之比卽同于六萬一千八百零三與三萬八千一百九十七之比而為相連比例之三率也【此即求圜内容十邊法】 設如有股二十尺勾?較十尺問勾?各幾何法借一根為勾數則一根多一十尺為?數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺為?自乘之數兩自乘之數相減得二十根多一百尺為股自乘之數而與股二十尺自乘之四百尺為相等兩邊各減一百尺得二十根與三百尺相等二十根旣與三百尺相等則一根必與一十五尺相等卽勾數加勾?較十尺得二十五尺卽?數也如圗甲乙為?甲丙為勾【乙丁同】丙乙為勾?較甲丁為勾?和甲己戊乙為?自乘方庚己壬辛為勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形為股自乘數與甲庚勾?較【甲庚與丙乙等】乘甲丁勾?和之甲庚癸丁長方積等借一根為勾數者卽庚己或庚辛也【庚己庚辛皆與甲丙等】一根多十尺為?數者卽庚己加庚甲也一