卷三十四

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十四 末部四 借根方比例【線類】 線類 設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小分多四尺問大小分各幾何 法借一根為小分則大分即為一根多四尺兩數相加得二根多四尺與一丈相等二根既多四尺乃減去所多四尺餘二根又于一丈内亦減去四尺餘六尺是為二根與六尺相等二根既與六尺相等則一根必與三尺相等前既借一根為小分則三尺即小分再加四尺得七尺即大分也【此減法也于一丈内減去大分所多之四尺餘六尺折半得三尺即小分之數此法甚易蓋因借根比例之首先設此以明其理使人由淺以入深也】 設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問共人數幾何 法借一根為為首一人所得之銀數亦即為衆匠之人數以衆匠之人數一根與六兩相乗得六根為衆匠之銀數相加得七根與三百四十三兩相等七根既與三百四十三兩相等則一根必與四十九兩相等即為首一人所得之銀數亦即衆匠之人數以四十九人與六兩相乗得二百九十四兩即衆匠所得共銀數再加為首一人所得銀數四十九兩得三百四十三兩以合原數也【此歸除法也以每匠得銀六兩加一兩得七兩以除共銀三百四十三兩即得四十九兩為為首一人所得銀數亦即衆匠之人數葢為首一人之銀既與衆匠人數等若以為首一人之銀分給衆匠每人必多得一兩故于每人之銀數外加一兩以除共銀即得也】 設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同于九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相等問二繩各長若幹 法借九根為長繩之數五根為短繩之數兩數相減餘四根以五根除九根得一八即一丈八尺是為四根與一丈八尺相等四根既與一丈八尺相等則一根必與四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即長繩數五因之得二丈二尺五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也【此歸除法】 設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三人各銀幾何 法借一根為三人之總銀數以甲乙共銀九十兩計之則丙為一根少九十兩以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩計之則乙為一根少七十三兩三數相加得三根少二百零八兩而與所借之一根相等三根少二百零八兩與一根各加二百零八兩得三根與一根多二百零八兩相等【三根少二百零八兩内加二百零八兩則補足三根整數一根上再加二百零八兩則為一根多二百零八兩矣】三根與一根再各減一根則餘二根與二百零八兩相等二根既與二百零八兩相等則一根必與一百零四兩相等即三人之總銀數總銀一百零四兩内減甲乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十一兩為乙銀數也【此加減法也如以三數相加得二百零八兩折半得一百零四兩即總銀數總銀數内減甲乙共銀數餘為丙銀數總銀數内減甲丙共銀數餘為乙銀數總銀數内減乙丙共銀數餘為甲銀數也】 設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各銀幾何 法借二根為三人之總銀數以甲乙共銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙共銀為一根多三十四兩丙銀為一根少三十四兩【二根既為三人之總銀數平分之則甲乙應得一根丙應得一根甲乙共銀比丙所多六十八兩平分之則甲乙應得三十四兩丙應得三十四兩甲乙所得為多丙所得為少故甲乙為一根多三十四兩丙為一根少三十四兩共相差為六十八兩下仿此】以乙丙共銀數比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為一根多五十兩甲銀為一根少五十兩以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩計之則丙甲共銀為一根多六十二兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀一根少三十四兩甲銀一根少五十兩乙銀一根少六十二兩三數相加得三根少一百四十六兩而與所借之二根相等三根少一百四十六兩與二根各加一百四十六兩得三根與二根多一百四十六兩相等三根與二根再各減二根則餘一根與一百四十六兩相等一根既與一百四十六兩相等則二根必與二百九十二兩相等即三人之總銀數前既以丙銀為一根少三十四兩乃于一百四十六兩内減三十四兩餘一百一十二兩即丙銀數甲為一根少五十兩乃于一百四十六兩内減五十兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少六十二兩乃于一百四十六兩内減六十二兩餘八十四兩即乙銀數也【此加減法也如以甲乙比丙所多之六十八兩與乙丙比甲所多之一百兩相加得一百六十八兩折半得八十四兩即乙銀數又以乙丙比甲所多之一百兩與甲丙比乙所多之一百二十四兩相加得二百二十四兩折半得一百一十二兩即丙銀數再以乙丙數相加得一百九十六兩内減去乙丙比甲所多之一百兩餘九十六兩即甲銀數也】 設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何 法借一根為第一人所得餘銀之數則一兩多一根為第一人所得總銀數又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為十根減去一根仍餘九根再于九根内減去第二人所得之二兩為九根少二兩以九根少二兩取其十分之一得十分根之九少二錢與第二人之二兩相加得二兩【作二十錢】多十分根之九少二錢為與第一人所得之一兩【作一十錢】多一根相等一兩多一根與二兩多十分根之九少二錢各加二錢得一兩二錢多一根與二兩多十分根之九相等多一根與多十分根之九各減十分根之九餘一兩二錢多十分根之一與二兩相等一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則餘十分根之一與八錢相等十分根之一既與八錢相等則一根必與八兩相等即第一人所得餘銀之數乃以十因之得八十兩又加第一人所得之一兩共八十一兩即原共銀數第一人得一兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩共為九兩第二人得二兩又加餘銀七十兩之十分之一七兩亦共為九兩第三人得三兩又加餘銀六十兩之十分之一六兩亦共為九兩第四人得銀四兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘銀四十兩之十分之一四兩亦共為九兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩之十分之一三兩亦共為九兩第七人得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是共九人每人得銀九兩皆相等也【此加減法也以分母十與分子一相減餘九即人數以人數九自乗得八十一即總銀數也葢惟人數與每人所得銀數相等者每人遞加一兩又各加餘銀十分之一所得始能相等故以人數自乗即得銀數也】 設如有人行路共二千八百裡步行則日行七十裡坐船則日行九十裡乗馬則日行一百裡但知步行之日數倍于坐船坐船之日數倍于乗馬問步行及坐船乗馬之日數各若幹 法借一根為乗馬之日數則坐船之日數為二根步行之日數為四根以一根與一百裡相乗得一百根為乗馬所行之裡數以二根與九十裡相乗得一百八十根為坐船所行之裡數以四根與七十裡相乗得二百八十根為步行所行之裡數三數相加得五百六十根是為五百六十根與二千八百裡相等五百六十根既與二千八百裡相等則一百根必與五百裡相等前既以一百根為乗馬所行之裡數則與一百根相等之五百裡即乗馬所行之裡數以乗馬每日行一百裡除之得五日與一根相等即乗馬所行之日數倍之得十日即坐船所行之日數以坐船每日行九十裡乗之得九百裡為坐船所行之裡數再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日數以步行每日行七十裡乗之得一千四百裡為步行之裡數以乗馬所行之五百裡與坐船所行之九百裡及步行之一千四百裡相并共得二千八百裡以合原數也【此遞加比例法用借衰互征法算之亦可】 設如一驢一馬一車共馱載一千五百二十斤馬所馱之數倍于驢仍多四十斤車所載之數倍于馬驢共馱之數卻少四十斤問驢馬車各馱載幾何法借一根為驢所馱之數則馬為二根多四十斤車為六根多四十斤【驢馬數相并得三根多四十斤倍之為六根多八十斤内減去少四十斤則為六根多四十斤】三數相加得九根多八十斤是為九根多八十斤與一千五百二十斤相等多八十斤與一千五百二十斤各減去八十斤則餘九根與一千四百四十斤相等九根既與一千四百四十斤相等則一根必與一百六十斤相等即驢所馱之數倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤為馬所馱之數将馬驢所馱之數相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再減去四十斤得一千斤即車所載之數驢馱一百六十斤馬馱三百六十斤車載一千斤三數相加共一千五百二十斤以合原數也【此按數加減比例法用借衰互征法算之亦可】 設如有銀三百八十五兩令十一人挨次遞加三兩分之問每人各得若幹 法借一根為第一人所得銀數以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人遞加三兩計之共得多一百六十五兩是為十一根多一百六十五兩與三百八十五兩相等十一根多一百六十五兩與三百八十五兩各減一百六十五兩則餘十一根與二百二十兩相等十一根既與二百二十兩相等則一根必與二十兩相等即第一人所得銀數遞加三兩則知第二人得二十三兩第三人得二十六兩第四人得二十九兩第五人得三十二兩第六人得三十五兩第七人得三十八兩第八人得四十一兩第九人得四十四兩第十人得四十七兩第十一人得五十兩各數相加共得三百八十五兩以合原數也【此按數加減比例法】 設如有銀四百七十四兩令十二人挨次遞加分之但知第一人得銀一十二兩問每人各得若幹法借一根為每人遞加之數以第一人至第十二人遞加一根計之則得六十六根再以十二兩與十二人相乗得一百四十四兩是為六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩相等六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩各減去一百四十四兩則餘六十六根與三百三十兩相等六十六根既與三百三十兩相等則一根必與五兩相等即每人遞加之數以第一人所得十二兩加五兩即第二人所得十七兩依此遞加則知第三人得二十二兩第四人得二十七兩第五人得三十二兩第六人得三十七兩第七人得四十二兩第八人得四十七兩第九人得五十二兩第十人得五十七兩第十一人得六十二兩第十二人得六十七兩各數相加共得四百七十四兩以合原數也【此按數加減比例法】 設如一人借銀營利三次每次得利之後則還銀二百四十兩複以餘銀作本其每次所得利銀皆與每次本銀相等至第三次還銀後則銀盡無餘問原借銀若幹 法借一根為原借本銀數則第一次利銀亦為一根是本利共二根除還銀二百四十兩則初次餘銀即為二根少二百四十兩再以二根少二百四十兩為第二次本銀數加第二次利銀則為四根少四百八十兩除還銀二百四十兩則第二次餘銀即為四根少七百二十兩再以四根少七百二十兩為第三次本銀數加第三次利銀則為八根少一千四百四十兩除還銀二百四十兩則第三次餘銀當為八根少一千六百八十兩八根少一千六百八十兩而銀盡無餘即八根與一千六百八十兩相等也八根既與一千六百八十兩相等則一根必與二百一十兩相等即原借本銀之數因每次所得利銀皆與本銀相等故以原借本銀之數倍之得四百二十兩除還二百四十兩餘一百八十兩為第二次本銀之數又倍之得三百六十兩又除還二百四十兩餘一百二十兩為第三次本銀之數又倍之得二百四十兩再還二百四十兩則銀恰盡無餘也【此按分遞折比例法用疊借互征法算之亦可】 設如甲乙丙三人各作一器則甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作問得日幾何 法借一千一百五十二根【三分母連乗之數】為三人同作完之日數以甲六日計之則甲每日得一百九十二根以乙八日計之則乙每日得一百四十四根以丙二十四日計之則丙每日得四十八根三數相加共得三百八十四根與一日相等三百八十四根既與一日相等則一千一百五十二根必與三日相等即三人同作完之日數也【此和數比例法】 設如甲丙二商不言本銀若幹但知甲之本銀四倍于丙而甲本銀内減去七十二兩則兩人之銀适等問二人本銀各幾何 法借一根為丙本銀數則甲本銀為四根以甲本銀減七十二兩與丙銀相等計之則于甲本銀四根内減七十二兩是為甲四根少七十二兩與丙一根相等四根少七十二兩與一根各加七十二兩得四根與一根多七十二兩相等四根與一根各減去一根則餘三根與七十二兩相等三根既與七十二兩相等則一根必與二十四兩相等即丙本銀數再加七十二兩得九十六兩即甲本銀數也【此較數比例法】 設如甲乙二人分銀其數相等甲用過一百兩乙用過三十兩則乙之餘銀三倍于甲問二人原各分銀幾何 法借一根為原分銀之數則甲之餘銀為一根少一百兩乙之餘銀為一根少三十兩乙之餘銀既三倍于甲則将甲餘銀一根少一百兩三倍之為三根少三百兩即與乙之餘銀一根少三十兩相等矣三根少三百兩與一根少三十兩各加三百兩則得三根與一根多二百七十兩相等【