卷三十三
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<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊
欽定四庫全書
禦制數理精蘊下編卷三十三
末部三
借根方比例【帶縱平方 帶縱立方三乘方四乘方五乘方附】
帶縱平方
借根方比例開帶縱平方其以長方之積用長闊之較或和而求長闊之數皆與常法同但不立和縱較縱之名惟有多根少根之号而毎根之數或爲長方之闊或爲長方之長錯綜其名有十二種推究其實總不出和較之兩端如雲一平方多防根與幾真數等或幾根多一平方與幾真數等或一平方與幾真數少幾根等或幾根與幾真數少一平方等此四者根皆較縱而其毎根之數皆長方之闊也如雲一平方少幾根與幾真數等或一平方少幾眞數與幾根等或一平方與幾真數多幾根等或一平方與幾根多幾眞數等此四者根亦皆較縱而其每根之數則皆長方之長也如雲一平方多幾真數與幾根等或幾眞數多一平方與幾根等或幾真數與幾根少一平方等或一平方與幾根少幾眞數等此四者根皆和縱而其毎根之數或爲長方之長或爲長方之闊也要之所謂一平方者即一正方而多幾根少幾根即變正方而爲長方其眞數比平方多根者其毎根爲闊眞數比平方少根者其每根爲長二者皆較縱惟眞數比根少平方者則爲和縱也至于開之之法皆以眞數爲長方積以根數爲縱【即以根數作眞數用如三根即作三眞數五根即作五真數之類解見設如】依面部帶縱平方法開之有較縱者先求和有和縱者先求較其根爲長方之闊者以和較相減折半而得每根之數【用半和半較立法者則相減即得根數不用折半】其根爲長方之長者以和較相加折半而得每根之數也【用半和半較立法者則相加即得根數不用折半】俱詳設如設如有一平方多二根與二十四尺相等問每一根之數幾何
法以二十四尺爲長方積二根爲縱多二尺用帶縱較數開平方法算之将積數四因加縱多自乘之數得一百尺開平方得十尺爲和減較二尺餘八尺折半得四尺爲一根之數即長方之闊加較二尺得六尺即長方之長也如圖甲乙丙丁長方形共積二十四尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁六尺爲長戊丁二尺爲縱多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故雲一平方多二根與二十四尺相等也若以積計之則積之多于平方者爲戊己丙丁之二根若以邊計之則長多于闊者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲縱多也此法錯綜其名則爲四種一平方多二根與二十四尺相等一也如二根多一平方亦必與二十四尺相等又一也若于一平方多二根與二十四尺各減去二根則爲一平方與二十四尺少二根相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内減去戊己丙丁二根餘甲乙己戊一平方故爲一平方與二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根與二十四尺各減去一平方則爲二根與二十四尺少一平方相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内減去甲乙己戊一平方餘戊己丙丁二根故爲二根與二十四尺少一平方相等也】此四者名雖不同合而觀之總爲眞數比一正方多根數故知其爲較縱而每根之數爲闊也
設如有一平方少四根與四十五尺相等問每一根之數幾何
法以四十五尺爲長方積四根爲縱多四尺用帶縱較數開平方法算之将積數四因加縱多自乘之數得一百九十六尺開平方得十四尺爲和加較四尺得十八尺折半得九尺爲一根之數即長方之長減較四尺得五尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形共積四十五尺甲乙九尺爲一根爲長甲丁五尺爲闊甲戊與甲乙等丁戊四尺爲縱甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根于甲乙己戊平方内減去丁丙己戊之四根則餘甲乙丙丁四十五尺故雲一平方少四根與四十五尺相等也若以積計之則積之少于平方者爲丁丙己戊之四根若以邊計之則闊少于長者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲縱多也此法錯綜其名亦爲四種一平方少四根與四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必與四根相等又一也若于一平方少四根與四十五尺各加四根則爲一平方與四十五尺多四根相等此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方故爲一平方與四十五尺多四根相等也】如一平方亦必與四根多四十五尺相等此又其一也此四者名雖不同合而觀之總爲真數比一正方少根數故知其爲較縱而其每根之數爲長也
設如有一平方多三十六尺與十三根相等問每一根之數幾何
法以三十六尺爲長方積十三根爲和十三尺用帶縱和數開平方法算之将積數四因與和自乘數相減餘二十五尺開平方得五尺爲較與和十三尺相減餘八尺折半得四尺爲一根之數即長方之闊加較五尺得九尺即長方之長也如圖甲乙丙丁長方形共積三十六尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁九尺爲長甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故雲一平方多三十六尺與十三根相等也若以積計之則積三十六尺與一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以邊計之則長九尺與闊四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺爲和也此法錯綜其名亦爲四種一平方多三十六尺與十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必與十三根相等又一也若于一平方多三十六尺與十三根各減去三十六尺則爲一平方與十三根少三十六尺相等此又其一也【甲乙己戊十三根内減去甲乙丙丁三十六尺餘丁丙己戊一平方故雲一平方與十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺與十三根各減去一平方則爲三十六尺與十三根少一平方相等此又其一也【甲乙己戊十三根内減去丁丙己戊一平方餘甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺與十三根少一平方相等也】此四者名雖不同合而觀之總爲眞數比根數少一正方故知其爲和而其毎根之數爲闊也
設如有一平方多三十二尺與十二根相等問每一根之數幾何
法以三十二尺爲長方積十二根爲和十二尺用帶縱和數開平方法算之将積數四因與和自乘數相減餘十六尺開平方得四尺爲較加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之數即長方之長減較四尺餘四尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形共積三十二尺甲乙八尺爲一根爲長甲丁四尺爲闊甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故雲一平方多三十二尺與十二根相等也若以積計之則積三十二尺與一平方相加共得甲乙己戊十二根若以邊計之則長八尺與闊四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞數比根數少一正方故知其爲和而其每根之數爲長也
帶縱立方 【三乘方 四乘方 五乘方附】
借根方比例開帶縱立方與常法不同常法先知各邊之和或較既開得一邊之數以和較加減之即得各邊之數此法止有根方多少之号而無和縱較縱之名惟求每根之數而不問餘邊其立
