卷三十二

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十二 末部二 借根方比例【開諸乘方法　諸乘方表】 開諸乘方法 借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥别總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至于諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便捷至于十乘方以後并可以此法禦之但其數繁衍而無所用茲故不載焉 平方 設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問每一根之數幾何 法列方積一萬五千一百二十九尺自末位起算每方積二位定方根一位故隔一位作記乃于九尺上定單位一百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺爲初商積與一百自乘之數相合即定初商爲一百尺書于方積一萬尺之上而以初商一百尺自乘之一萬尺書于初商積之下相減恰盡爰以方根第二位積五千一百尺續書于後爲次商廉隅之共積而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書于方積一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一萬四千四百尺與原積相減餘七百尺爰以方根第三位積二十九尺續書于後共七百二十九尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商積足三倍即定三商爲三尺書于方積九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一萬五千一百二十九尺與原積相減恰盡是開得一百二十三尺爲平方每一根之數也此法止用廉法除餘積得次商即并初商數自乘得數複與原積相減與常法不同然自三乘方以至多乘方則廉法條例甚繁難于布算用此法甚爲省便在平方立方不覺其省【平方止省小隅一層立方止省長廉小隅二層】而在多乘方所省實多葢各設一例以備體也 立方 設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五尺開立方問每一根之數幾何 法列方積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算每方積三位定方根一位故隔二位作記乃于五尺上定單位三千尺上定十位一百萬尺上定百位其四千一百萬尺爲初商積與三百自乘再乘之數相準即定初商爲三百尺書于方積一百萬尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書于初商積之下相減餘一千四百萬尺爰以方根第二位餘積六萬三千尺續書于後共一千四百零六萬三千尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺爲次商廉法以除次商積足四十倍即定次商爲四十尺書于方積三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十萬四千尺與原積相減餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第三位餘積六百二十五尺續書于後共一百七十五萬九千六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一萬五千六百尺三因之得三十四萬六千八百尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書于方積五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡是開得三百四十五尺爲立方每一根之數也 又用表開法列積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算隔二位作記定位同前乃截方根第二位以前積四一○六三爲初商次商之積于表中取比此數相近略小之數爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之數】其所對初商根爲三次商根爲四即将三四書于初商次商之位而以三九三○四書于初商次商積之下相減餘一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除餘積一七五九足五倍即定三商爲五書于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡即定立方根爲三百四十五尺也 三乘方 設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之數幾何 法列方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算每方積四位定方根一位故隔三位作記乃于一尺上定單位七萬尺上定十位三億尺上定百位其一千零三十三億尺爲初商積與五百乘三次之數相準即定初商爲五百尺書于方積三億尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五億尺書于初商積之下相減餘四百零八億尺爰以方根第二位積五千五百一十七萬尺續書于後共四百零八億五千五百一十七萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之五百尺乘二次得一億二千五百萬尺四因之得五億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一億六千四百九十六萬尺大于原積是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五億六千零一萬尺仍大于原積是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三億四千四百九十六萬尺小于原積可減也乃定次商爲六十尺書于方積七萬尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三億四千四百九十六尺與原積相減餘五十億一千零二十一萬尺爰以方根第三位積七千一百二十一尺續書于後共五十億一千零二十一萬七千一百二十一尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之五百六十尺乘二次得一億七千五百六十一萬六千尺四因之得七億零二百四十六萬四千尺爲三商亷法以除三商積足七倍即定三商爲七尺書于方積一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡是開得五百六十七尺爲三乘方每一根之數也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅既得初商乃以