卷三十二

初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除餘積得次商以初商自乘與次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘與初商相乘四因之爲四長廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘三次即得應減之積也 又法用開平方法兩次開之初以原積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開平方得三十二萬一千四百八十九尺次以三十二萬一千四百八十九尺複開平方得五百六十七尺即三乘方每一根之數也又用表開法列積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算隔三位作記定位同前乃截方根第二位以前積一○三三五五一七爲初商次商之積于表中取比此數相近略小之數爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之數】其所對初商根爲五次商根爲六即将五六書于初商次商之位而以九八三四四九六書于初商次商積之下相減餘五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除餘積五○一○二一足七倍即定三商爲七書于三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡即定三乘方根爲五百六十七尺也 四乘方 設如有四乘方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺開四乘方問每一根之數幾何 法列方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算每方積五位定方根一位故隔四位作記乃于五尺上定單位九十萬尺上定十位空百億尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商積與七百乘四次之數相準即定初商爲七百尺書于方積空百億尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百億尺書于初商積之下相減餘九十三兆九千三百億尺爰以方根第二位餘積三十五億四千九百九十萬尺續書于後共九十三兆九千三百三十五億四千九百九十萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一億尺五因之得一兆二千零五億尺爲次商廉法以除次商積足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四億一千五百七十萬尺大于原積是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺小于原積可減也乃定次商爲六十尺書于方積九十萬尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺與原積相減餘八兆四千五百一十億一千二百三十萬尺爰以方根第三位餘積七萬八千一百二十五尺續書于後共八兆四千五百一十億一千二百三十七萬八千一百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六億二千一百七十六萬尺五因之得一兆六千六百八十一億零八百八十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書于方積五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡是開得七百六十五尺爲四乘方每一根之數也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除餘積得次商以初商自乘再乘與次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘兩數相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘與初商相乘五因之爲五長廉以次商數乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘四次即得應減之積也又用表開法列積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算隔四位作記定位同前乃截方根第二位以前積二六二○○三五四九九爲初商次商之積于表中取比此數相近略小之數爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之數】其所對初商根爲七次商根爲六即将七六書于初商次商之位而以二五三五五二五三七六書于初商次商積之下相減餘八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除餘積八四五一○一二三足五倍即定三商爲五書于三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡即定四乘方根爲七百六十五尺也 五乘方 設如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開五乘方問每一根之數幾何 法列方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算每方積六位定方根一位故隔五位作記乃于五尺上定單位五百萬尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商積與九百乘五次之數相準即定初商爲九百尺書于方積八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺書于初商積之下相減餘三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位積三千零一十億二千五百萬尺續書于後共三十二京七千六百二十七兆三千零一十億二千五百萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百億尺六因之得三千五百四十二兆九千四百億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大于原積乃改商七十尺書于方積五百萬尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九億二千九百萬尺與原積相減餘二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百萬尺爰以方根第三位積三十九萬零六百二十五尺續書于後共二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百三十九萬零六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十億二千五百七十萬尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一億五千四百二十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書于方積五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰盡是開得九百七十五尺爲五乘方每一根之數也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲