卷三十一

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷三十一 末部一 借根方比例【定位法　　加法　　減法乘法　　除法】 借根方比例 借根方者假借根數方數以求實數之法也凡法必借根借方加減乘除令與未知之數比例齊等而本數以出大意與借衰疊借略同然借衰疊借之法止可以禦本部而此法則線面體諸部皆可禦之其中有借根借方之不同葢因根者方之邊數即所謂線以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以線類爲問者則借根數以比之以面類爲問者則借平方長方以比之以體類爲問者則借立方或累次多乘方以比之至于借數又有一定之位與降位之法【定位降位法俱詳後】要之此法設立虛數依所問之比例乘除加減務令根方之數與眞數相當适等而所求之數以出此亦借數之巧也 定位法 衆數之經緯盡歸乘除而乘除之條理又取準于定位況借數一法又用根方諸名一經乘除俱變爲幾根幾方之号而本數之比例由此而生其定位與常法稍異故變從簡易設表如左 右表前行所列者借數之名後行所列者定數之位其借數者即比例也根與方數俱爲相連比例率如根爲二則平方爲四立方爲八以立方與平方之比同于平方與根數之比即爲八與四之比同于四與二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之數權約爲幾根幾方以統禦之加減後餘幾根幾方即知眞數若幹矣【如根爲二數其平方即爲四若餘二平方即知其真數有八或餘二根即知其真數有四也】其定位者即視根方所對之位也乘法定位以兩數所對之位數相加其加數所對之方即乘出之方也除法定位以兩數所對之位數相減其減餘數所對之方即除出之方也【乘法以眞數乘根仍得根葢根對一而眞數對○無可加也如以根乘根即得平方葢根對一一與一相加得二二所對之表爲平方故定乘得之數爲平方也如以根乘平方即得立方葢根對一平方對二一二相加得三而三所對之表爲立方故定乘得之數爲立方也又如以平方乘平方則二與二相加爲四查所對之表得三乘方以平方乘立方則二與三相加爲五查所對之表得四乘方以立方乘立方則三與三相加爲六查所對之表得五乘方餘皆仿此除法以真數除根仍得根葢根對一而真數對○無可減也如以根除根即得真數葢根對一一與一相減得○而○所對之表爲眞數故定除得之數爲真數也如以根除平方即得根葢根對一平方對二一二相減餘一而一所對之表爲根故定除得之數爲根數也又如以平方除平方則二與二減盡爲○查所對之表得真數以平方除立方則二與三相減餘一查所對之表得根數以立方除立方則三與三相減得○查所對之表亦得真數也餘皆仿此】 定多少與相同号式 凡數有多者用此号一如一平方多二根則如此列之 凡數有少者用此号一如一立方少二平方則如此列之 凡數有相等者用此号一如二立方與十六相等則如此列之 至于數之多少不齊用号各異加減乘除之後有不變者有以多變少以少變多者俱詳于本法 加法 凡多與多加得數仍爲多少與少加得數仍爲少多與少加少與多加則反相減爲所得數而多數大則得數亦爲多少數大則得數亦爲少其故何也葢因多數大少數小以其所多補其所少而其所多者尚有餘也少數大多數小以其所多補其所少而其所少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣 設如有三平方多四根與二平方多三根相加問得幾何 法以三平方與二平方相加得五平方四根與三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之數也此多與多加得數仍爲多也如以數明之以根爲二則一平方爲四上數三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下數二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二與下八相加得二十即五平方之數上多八與下多六相加得十四即多七根之數葢上數共二十下數共十四兩數相加得三十四即二十多十四也 設如有四立方少一平方與三立方少二平方相加問得幾何 法以四立方與三立方相加得七立方一平方與二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之數也此少與少加得數仍爲少也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下數三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八與下八十一相加得一百八十九即七立方之數上少九與下少十八相加得二十七即少三平方之數葢上數九十九下數六十三兩數相加得一百六十二即一百八十九少二十七也 設如有四平方多四根與二平方少三根相加問得幾何 法以四平方與二平方相加得六平方四根與三根相加應得七根今多少兩數不同故于多四根内反減去少三根餘一根因多數大故得數爲多是爲六平方多一根即所求之數也此多少兩數不同相加所多數大以其所多補足所少而所多仍有餘葢以上數多四根補足下數少三根仍多一根也如以數明之以根爲二則一平方爲四上數四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下數二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六與下八相加得二十四即六平方之數上多八補足下少六仍餘二即多一根之數葢上數二十四下數二兩數相加得二十六即二十四多二也 設如有二立方少三平方與一立方多二平方相加問得幾何 法以二立方與一立方相加得三立方三平方與二平方相加應得五平方今多少兩數不同故于少三平方内反減去多二平方餘一平方因少數大故得數爲少是爲三立方少一平方即所求之數也此多少兩數不同相加所少數大以其所多補其所少而所少仍不足葢于上數少三平方内增入下數多二平方仍少一平方也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下數一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四與下二十七相加得八十一即三立方之數上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之數葢上數二十七下數四十五兩數相加得七十二即八十一少九也 設如有二立方多三平方少四根與一立方多二平方少三根相加問得幾何 法以二立方與一立方相加得三立方三平方與二平方相加得五平方四根與三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之數也此三位相加多少各自相同故多與多加仍爲多少與少加仍爲少也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下數一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六與下八相加得二十四即三立方之數上多十二與下多八相加得二十即多五平方之數上少八與下少六相加得十四即少七根之數葢上數二十下數十兩數相加得三十即二十四多二十又少十四也 設如有四立方多三平方少二根多五眞數與五立方少一平方多三根少二眞數相加問得幾何法以四立方與五立方相加得九立方多三平方與少一平方相減餘二平方多數大故爲多少二根與多三根相減餘一根多數大故爲多多五眞數與少二眞數相減餘三眞數多數大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞數即所求之數也此四位相加而多少各自不同須各