卷三十一

以所多補足所少故相減所餘爲所得數也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞數五是三十二多十二少四又多五爲四十五下數五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞數二是四十少四多六又少二爲四十上三十二與下四十相加得七十二即九立方之數上多十二補足下少四仍餘八即多二平方之數上少四增入下多六反多二即多一根之數上多五補足下少二仍餘三即多三眞數葢上數四十五下數四十兩數相加得八十五即七十二多八又多二又多三也 設如有一立方多三根與一平方少一根相加問得幾何 法以一立方與一平方相加得一立方多一平方多三根與少一根相減餘二根多數大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之數也此相加兩數位分不同須各按位列号補足位分始不相淆今上層無平方位而下層卻有平方位故上層列一空平方位以補之凡法皆當如此也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下數一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七與下無可加仍得二十七即一立方之數下九與上空位亦無可加仍得九即一平方之數上多九補足下少三仍餘六即多二根之數葢上數三十六下數六兩數相加得四十二即二十七多九又多六也 減法 凡多與多減原數大于減數則減餘仍爲多少與少減原數大于減數則減餘仍爲少若多與多減減數大于原數則反減而減餘即變爲少葢減數之所多既大于原數之所多則原數之所多内減盡與原數之所多相等之數仍須于原數之整分内多減去所大之幾何則所餘之整分内即少幾何矣若少與少減減數大于原數則反減而減餘即變爲多葢減數之所少既大于原數之所少則原數之所少内減盡與原數之所少相等之數仍須于原數之整分内少減所大之幾何故所餘之整分内即多幾何矣至于多與少減少與多減則反相加爲減餘數而原數多則減餘仍爲多原數少則減餘仍爲少其故何也葢因原數多減數少則原數已多在彼而減數又少于此是所餘益多也原數少減數多則原數已少在彼而減數又多于此是所餘益少也多少之号明而減法不淆矣 設如有四平方多五根内減二平方多二根問所餘幾何 法以四平方減二平方餘二平方五根減二根餘三根是爲二平方多三根即所求之數也此多與多減原數大于減數故減餘仍爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九上數四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下數二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内減下十八餘十八即二平方之數上十五内減下六餘九即三根之數葢上數共五十一下數共二十四兩數相減餘二十七即十八多九也 設如有四立方少三平方内減三立方少二平方問所餘幾何 法以四立方減三立方餘一立方三平方減二平方餘一平方是爲一立方少一平方即所求之數也此少與少減原數大于減數故減餘仍爲少也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下數三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内減下八十一餘二十七即一立方之數上二十七内減下十八餘九即少一平方之數葢上數八十一下數六十三兩數相減餘十八即二十七少九也 設如有七平方多三根内減四平方多五根問所餘幾何 法以七平方減四平方餘三平方三根内不能減五根乃于下數多五根内反減上數多三根餘二根即變爲少是爲三平方少二根即所求之數也此多與多減減數大于原數故反減而減餘即變爲少葢原數多三根減數多五根是減數比原數大二根如于原數三根内減去減數三根則減數仍餘二根此二根必須于原數平方内減之原數既多減二根則餘數即少二根也如以數明之以根爲三則一平方爲九上數七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下數四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内減下三十六餘二十七即三平方之數下十五内反減上九餘六即少二根之數葢上數共七十二下數共五十一兩數相減餘二十一即二十七少六也 設如有六平方少三根内減二平方少四根問所餘幾何 法以六平方減二平方餘四平方三根内不能減四根乃于下數少四根内反減上數少三根餘一根即變爲多是爲四平方多一根即所求之數也此少與少減減數大于原數故反減而減餘即變爲多葢原數少三根減數少四根是減數比原數大一根如于原數三根内減去減數三根則減數仍餘一根此一根系原數平方内所少減之一根原數既少減一根則餘數即多一根也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下數二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内減下三十二餘六十四即四平方之數下十六反減上十二餘四即多一根之數葢上數八十四下數十六兩數相減餘六十八即六十四多四也 設如有三平方多四根内減二平方少一根問所餘幾何 法以三平方減二平方餘一平方四根減一根應餘三根今多少兩數不同故反相加得五根因原數多故得數仍爲多是爲一平方多五根即所求之數也此多少兩數不同相減原數多減數少原數已多而減數又少則所餘者愈多葢原數多四根減數少一根是原數比減數已多五根故減餘即爲多五根也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下數二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内減下三十二餘十六即一平方之數上多十六加下少四得二十即多五根之數葢上數六十四下數二十八兩數相減餘三十六即十六多二十也 設如有五平方少二根内減三平方多三根問所餘幾何 法以五平方減三平方餘二平方二根不能減三根且多少兩數不同故反相加得五根因原數少故得數仍爲少是爲二平方少五根即所求之數也此多少兩數不同相減原數少減數多原數已少減數又多則所餘者愈少葢原數少二根減數多三根是原數比減數已少五根故減餘即爲少五根也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五上數五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下數三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内減下七十五餘五十即二平方之數上少十加下多十五得二十五即少五根之數葢上數一百一十五下數九十兩數相減餘二十五即五十少二十五也 設如有四立方多六平方内減二立方多三平方多三根問所餘幾何 法以四立方減二立方餘二立方六平方減三平方再減三根餘三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之數也此相減兩數位分不同須各按位列号補足位分始不相淆今上層無根位而下層卻有根位故上層作一空根位以補之是原根位無數而減數多三根故所餘即少三根也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下數二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内減下十六餘十六即二立方之數上二十四内減下十二餘十二即三平方之數下