卷三十一

六無可減仍爲六即少三根之數葢上數五十六下數三十四兩數相減餘二十二即十六多十二又少六也 設如有五立方多四平方多三根少八眞數内減四立方多二平方多二根少九眞數問所餘幾何法以五立方減四立方餘一立方四平方減二平方餘二平方多與多減原數大故爲多多三根減二根餘一根多與多減原數大故爲多八眞數不能減九眞數乃于下數少九内反減上數少八餘一即變爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞數即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞數八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下數四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞數九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内減下一百零八餘二十七即一立方之數上三十六内減下十八餘十八即多二平方之數上九内減下六餘三即多一根之數下九反減上八餘一即多一眞數葢上數一百七十二下數一百二十三兩數相減餘四十九即二十七多十八又多三又多一也 設如有二立方多三根内減一平方少一根問所餘幾何 法以二立方減一平方餘二立方少一平方三根減一根應餘二根今多少兩數不同故反相加得四根因原數多故得數仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下數一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四無可減仍爲五十四即二立方之數下九無可減仍爲九即少一平方之數上多九與下少三相加得十二即多四根之數葢上數六十三下數六兩數相減餘五十七即五十四少九又多十二也 乘法 凡乘法各按位分上下橫列自末位起逐位遍乘與常法同其書乘出之數以類相從【如乘出之數爲根俱書于根之下乘出之數爲平方俱書于平方之下皆依定位表例】其定多少之号則臨期互有轉移葢法實俱止一位者其乘出之數爲多不必言矣法實不止一位俱系多者【如幾平方多幾根或幾根多幾眞數又或幾平方多幾根又多幾眞數之類】其乘出之數亦俱爲多葢以多乘多則多者益多也法實兩數俱系少者其爲首一位已系整數爲多【如幾平方少幾根或幾根少幾眞數或幾平方少幾根又少幾眞數之類】故乘出之數則有多少之分如爲首一位相乘系多與多乘其乘出之數爲多而次位爲少者與首位乘是爲少與多乘或首位與次位爲少者乘是爲多與少乘則其乘出之數俱爲少葢少與多乘多與少乘則少者益少而得數固少也【如防平方少幾根與幾眞數相乘以眞數乘平方即爲多與多乘以眞數乘根即爲多與少乘也】至于少與少乘其乘出之數反變爲多【如幾立方少幾平方與幾根少幾眞數相乘以眞數乘平方即爲少與少乘也】其故何也葢法實首位爲多次位以後爲少則乘出之數首位内少次位之數必多末位之數須于乘出首位數中減去次位之數加入末位之數始與實數相合【除首位上下兩整數相乘以後次位皆系少與少乘爲多而次位對首位乘必爲少與多乘或多與少乘則此兩數俱爲少合之爲首位數内少次位之數而多末位之數葢因次位所少數内有兩分末位之數首位數内減去次位之全數即如多減去一末位之數倘能于次位數中先減去末位數然後再于首位數中減之始與實數相合今次位數中既不能先減去末位數故轉于首位數中減去次位數反加入一末位數也】所謂減者即少數所謂加者即多數多少之分既定則依加法相加即爲所得之數也 設如有三根多二眞數以三眞數乘之問得幾何法以三眞數乘二眞數得多六眞數【以多與多乘故爲多也又幾以眞數乘根方之數其位皆不變如以眞數乘眞數仍得眞數以眞數乘根仍得根葢定位表中眞數之位爲○于根方之位無所加也】以三眞數乘三根得多九根是爲九根多六眞數即所求之數也如以數明之以根爲四則上數三根得十二多二眞數共得十四以下眞數三乘之所得三十六即九根之數所得多六即多六眞數葢以下數三與上數十四相乘得四十二即三十六多六也 設如有四根多二眞數以二根多三眞數乘之問得幾何 法以多三眞數乘多二眞數得多六眞數以多三眞數乘四根得多十二根又以二根乘多二眞數得多四根以二根乘四根得八平方【以根與根乘即得平方葢根所對之位爲一以一加一爲二即平方所對之位故得數定爲平方】相加得八平方多一十六根又多六眞數即所求之數也如圖甲乙爲四根乙丙爲多二眞數甲丁爲二根丁戊爲多三眞數以甲丙四根多二眞數與甲戊二根多三眞數相乘成甲戊己丙長方形其甲丁庚乙長方形即八平方其乙庚辛丙與丁戊壬庚二長方形即所多十六根其庚壬己辛長方形即所多六眞數也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數四根得十六多二眞數共得十八下數二根得八多三真數共得十一相乘所得一百二十八即八平方之數所得多六十四即多十六根之數所得多六即多六眞數葢以下數十一與上數十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也 設如有二平方多三根以二根多四眞數乘之問得幾何 法因上層無眞數位故列一空位以補之以多四眞數乘空眞數仍爲空以多四眞數乘多三根得多十二根以多四眞數乘二平方得多八平方以二根乘空眞數仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方【以根乘平方即得立方葢根所對之位爲一平方所對之位爲二以一加二得三即立方所對之位也】相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之數也此相乘兩數位分不同須各按位列号補足位分始不相淆凡法皆當如此如圖甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞數以甲乙戊己二平方多三根與戊辛二根多四眞數相乘成乙己辛癸扁方體其丙己庚子十二根即四真數乘三根之數其甲乙丙丁子醜八平方即四眞數乘二平方之數其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之數其醜子卯癸四立方即二根乘二平方之數也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五一立方爲一百二十五上數二平方得五十多三根得多十五共得六十五下數二根得一十多四眞數共得十四相乘所得五百即四立方之數所得多三百五十即多十四平方之數所得多六十即多十二根之數葢以下數十四與上數六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也 設如有二根少四眞數以一根多三眞數乘之問得幾何 法以多三眞數乘少四眞數得少十二眞數【多與少乘故爲少】以多三眞數乘二根得多六根【凡爲首一位皆爲多而數前無号者亦即爲多今以多三眞數與多二根相乘故其得數仍爲多】又以一根乘少四眞數得少四根【以多與少乘故爲少】以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞數即所求之數也如圖甲乙爲二根丙乙爲少四眞數甲丁爲一根丁戊爲多三真數以甲乙二根少四眞數與甲戊一根多三眞數相乘成甲戊己乙長方形其庚壬己辛長方形即多三眞數乘少四眞數之十二眞數丁戊己辛長方形即多三眞數乘二根之六根丙庚辛乙長方形即一根乘少四眞數之四根甲丁辛乙長方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞數今以丁戊己辛之多六根少十二眞數補丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞數也如以數明