卷三十一

之以根爲六則一平方爲三十六上數二根得十二少四眞數則餘八下數一根得六多三眞數共得九相乘所得七十二即二平方之數所得多十二即多二根之數所得少十二即少十二眞數之數葢以下數九與上數八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也 設如有一根少一眞數以一根少二眞數乘之問得幾何 法以少二眞數乘少一眞數得多二眞數【少與少乘故爲多】以少二眞數乘一根得少二根【一根爲首且無号故爲多今以少二眞數與多一根相乘故其得數亦爲少也】又以一根乘少一眞數得少一根【多與少乘故爲少】以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞數即所求之數也如圖甲乙爲一根丙乙爲少一眞數甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞數以甲乙一根少一眞數與甲丁一根少二眞數相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小長方形即少二眞數乘少一眞數之二眞數其戊壬己丁即二眞數乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞數之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞數實得甲丙庚戊之一長方形葢甲乙己丁之一正方内減戊壬己丁之二根又減丙乙己辛之一根是重減去庚壬己辛之二眞數則甲丙庚戊長方内必缺二眞數故将少二眞數乘少一眞數所得之二眞數即預定爲多号以補重減之分然後得甲丙庚戊之一長方爲所得之實數也是則少與少乘之爲多者非于整數之外有盈分而爲多實因所少之數有過分而爲多也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六上數一根爲六少一眞數則餘五下數一根爲六少二眞數則餘四相乘所得三十六即一平方之數所得少十八即少三根之數所得多二即多二眞數之數葢以下數四與上數五相乘得二十即三十六少十八多二也 設如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之問得幾何 法因上下兩層皆無眞數位故各列一空位以補之以空眞數乘上層各位仍得各空位以少二根乘空眞數仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞數仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上數二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下數二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之數所得少六百四十八即少八三乘方之數所得多五十四即多二立方之數所得多十八即多二平方之數葢以下數十二與上數三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四複多十八也 設如有三平方少二根多二眞數與一平方多二根少三眞數相乘問得幾何 法以少三眞數乘多二眞數得少六眞數以少三眞數乘少二根得多六根以少三眞數乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞數得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞數得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞數即所求之數也如以數明之以根爲四則一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上數三平方得四十八少二根得少八多二眞數共得四十二下數一平方得十六多二根得多八少三眞數共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之數所得多二百五十六即多四立方之數所得少一百七十六即少十一平方之數所得多四十即多十根之數所得少六即少六眞數之數葢以下數二十一與上數四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十複少六也 除法 凡除法按位列數必以眞數爲單位法尾未至眞數者須補○以存其位【如法尾爲根則補一○以存眞數位法尾爲平方則補二○以存眞數位法尾爲立方則補三○以存眞數位】将得數首位紀于眞數之上【如眞數之位爲○者則紀于○位之上】眞數所對實中之位即得數首位之數【如眞數對實中根位即定得數首位爲根如眞數對實中平方位即定得數首位爲平方如眞數對實中立方位即定得數首位爲立方餘俱仿此】其歸除遞減皆與常法同至于定号亦與乘法同俱詳設如于左 設如有十二立方多九平方多六根以三眞數除之問得幾何 法以三眞數除十二立方得四立方以四立方乘三眞數得十二立方與實相減恰盡餘多九平方多六根複以三眞數除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞數得多九平方與實相減恰盡餘多六根又以三眞數除多六根得多二根以多二根乘三眞數得多六根與實相減恰盡無餘是爲四立方多三平方多二根即所求之數也此法葢因眞數除立方多平方與多根故得數之位仍從實數之位且眞數之位下對實中立方之位故定得數首位亦爲立方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞數三除之所得一百零八即四立方之數所得多二十七即多三平方之數所得多六即多二根之數葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也 設如有十二立方多八平方多六根以二根除之問得幾何 法因法尾未至眞數位故設一空眞數位以補之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方與實相減恰盡餘多八平方多六根複以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方與實相減恰盡餘多六根複以二根除多六根得多三眞數以多三眞數乘二根得多六根與實相減恰盡無餘是爲六平方多四根多三眞數即所求之數也此法葢因根數除立方多平方與多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位亦爲平方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八實數十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法數二根爲四除之所得二十四即六平方之數所得多八即多四根之數所得多三即多三眞數之數葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也 設如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之問得幾何 法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方與實相減恰盡餘多八立方多八平方複以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方與實相減恰盡餘多八平方又以四平方除多八平方得多二眞數以多二眞數乘四平方得多八平方與實相減恰盡無餘是爲一平方多二根又多二眞數即所求之數也此法葢因平方除三乘方多立方與多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位亦爲平方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九 一立方爲二十七一三乘方爲八十一實數四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多