卷三十三

法之本意葢欲借根方以求他數既得一根之數則所求之數已得而方之形體有所不計且其與根方相等之積數或爲長方體扁方體形或非長方體扁方體形【或于長方扁方之内少幾數或于長方扁方之外多幾數則不能成長方扁方體形也】皆不可知故不可以帶縱之常法求也【其積數或原爲幾根幾方之總數而非一長方或一扁方之全數則止可以逐方逐根計之若作一長方或一扁方算則其各邊必有奇零不盡而轉與所設之根數不合矣】今類其法分爲九種如一立方多幾根與幾真數等一也一立方少幾根與幾眞數等二也一立方多幾平方與幾真數等三也一立方少幾平方與幾眞數等四也一立方多幾平方多幾根與幾眞數等五也一立方少幾平方少幾根與幾真數等六也一立方多幾平方少幾根與幾眞數等七也一立方少幾平方多幾根與幾真數等八也又幾平方少一立方與幾眞數等九也其開之之法除第九種外餘俱依立方法定初商複視所帶根方爲多号者其商數須取略小于應得之數所帶根方數爲少号者其商數須取略大于應得之數俱以初商數自乘再乘爲立方積以初商自乘數與幾平方相乘爲所帶平方之共積以初商數與幾根相乘爲所帶根數之共積多号者與立方積相加少号者與立方積相減然後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商自乘數三因之爲立方廉以初商數倍之與幾平方相乘爲所帶平方之共廉多号者與立方廉相加少号者與立方廉相減又加減所帶之根數【多根者加少根者減】爲次商廉法以廉法除次商積得次商即合初商自乘再乘爲立方積仍如所帶幾根幾平方加減之而後減原積并與初商同至于第九種之法則将立方與真數俱用平方數除之得一平方少幾分立方之一與幾眞數等依平方法定初商其商數須取略大于應得之數乃以初商數自乘爲平方積又以初商數再乘爲立方積以平方數除之得數爲少幾分立方之一以減平方積而後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商數倍之爲平方廉又以初商自乘數三因之爲立方廉以平方數除之得數以減平方廉餘爲次商廉法以廉法除次商積得次商其減積之法與初商同以上九種如法開之即得每根之數也要之所謂一立方者即一正方體而多平方多根少平方少根即變正方體而爲長方體扁方體或爲磬折長方體扁方體其積數中有立方則用再乘有平方則用自乘有根則用商數多則相加少則相減九種之中無異術也即推之多乘方莫不皆然總以其累乘之數爲主而以所帶根方之積數加減之與立方無二理也爰将立方九種之法各設一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各設二例以附其後焉 設如有一立方多八根與一千八百二十四尺相等問毎一根之數幾何 法列原積一千八百二十四尺按立方法作記于四尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書于原積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共積與一立方積相加得一千零八十尺書于原積之下相減餘七百四十四尺爲次商積而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根數八共三百零八尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共積與立方積相加共得一千八百二十四尺書于原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體及八根之共數以邊計之則所得毎根之數即正方體之毎一邊因正方體之外多八根故成一磬折體而非正方體亦非長方體也 設如有一立方少九根與一千六百二十尺相等問毎一根之數幾何 法列原積一千六百二十尺按立方法作記于空尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書于原積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共積與立方積相減餘九百一十尺書于原積之下相減餘七百一十尺爲次商積而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内減去根數九餘二百九十一尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共積與立方積相減餘一千六百二十尺書于原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體少九根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊因正方體内少九根之數故成磬折體而非正方體亦非扁方體也 設如有一立方多四平方與二千三百零四尺相等問每一根之數幾何 法列原積二千三百零四尺按立方法作記于四尺上定單位二千尺上定十位其二千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相準即定初商爲十尺書于原積二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共積與立方積相加得一千四百尺書于原積之下相減餘九百零四尺爲次商積而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉與一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共積與立方積相加共得二千三百零四尺書于原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體及四平方之共數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多四平方故成長方體而非正方體也 設如有一立方少八平方與七千九百三十五尺相等問每一根之數幾何 法列原積七千九百三十五尺按立方法作記于五尺上定單位七千尺上定十位其七千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相凖應商十尺而所帶平方爲少号故取略大之數爲二十尺書于原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共積與立方積相減餘四千八百尺書于原積之下相減餘三千一百三十五尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉與一立方廉相減餘八百八十尺爲次商廉法以除次商積足三倍即定次商爲三尺書于原積五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一萬二千一百六十七尺爲一立方積又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共積與一立方積相減餘七千九百三十五尺書于原積之下相減恰盡是開得二十三尺爲每一根之數也此