卷三十三

法以積計之爲一正方體少八平方之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少八平方故成扁方體而非正方體也 設如有一立方多十三平方多三十根與二萬七千一百四十四尺相等問毎一根之數幾何 法列原積二萬七千一百四十四尺按立方法作記于四尺上定單位七千尺上定十位其二萬七千尺爲初商積與三十自乘再乘之數相合應商三十尺而所帶平方與根皆爲多号故取略小之數爲二十尺書于原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共積又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共積三積【立方平方與根之三數】相加得一萬三千八百尺書于原積之下相減餘一萬三千三百四十四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉與立方廉相加得一千七百二十尺又加根數三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商積足七倍因取略小之數爲六尺書于原積四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一萬七千五百七十六尺爲一立方積又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共積又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共積三積相加共二萬七千一百四十四尺書于原積之下相減恰盡是開得二十六尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體及十三平方與三十根之共數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多十三平方又多三十根恰成長方體而非正方體亦非磬折體也【将所多之十三平方内十平方附于正方體之一面又以三平方加于正方體之又一面即成磬折體而缺三十根之數如以三十根補其缺即成長方體其寛即一根爲二十六尺其長即一根多十尺爲三十六尺其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根數适足長方體形故爲長方體若平方與根數不能補足者仍爲磬折體也】 設如有一立方少七平方少八根與七千零八十四尺相等問每一根之數幾何 法列原積七千零八十四尺按立方法作記于四尺上定單位七千尺上定十位其七千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相凖而所帶平方與根皆爲少号故取略大之數爲二十尺書于原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共積又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共積與少七平方共積相加得二千九百六十尺以減立方積餘五千零四十尺書于原積之下相減餘二千零四十四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉與立方廉相減餘九百二十尺又減去根數八餘九百一十二尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一萬零六百四十八尺爲一立方積又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共積又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共積與少七平方共積相加得三千五百六十四尺以減立方積餘七千零八十四尺書于原積之下相減恰盡是開得二十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體少七平方又少八根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之毎一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少七平方又少八根故成磬折體而非正方體也 設如有一立方多一平方少二十根與三萬三千一百五十二尺相等問每一根之數幾何 法列原積三萬三千一百五十二尺按立方法作記于二尺上定單位三千尺上定十位其三萬三千尺爲初商積與三十自乘再乘之數相準即定初商爲三十尺書于原積三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二萬七千尺爲一立方積又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方積又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共積于立方積内加多一平方積得二萬七千九百尺又減去少二十根之共積餘二萬七千三百尺書于原積之下相減餘五千八百五十二尺爲次商積而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉與立方廉相加得二千七百六十尺又減去根數二十餘二千七百四十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三萬二千七百六十八尺爲一立方積又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方積又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共積于一立方積内加多一平方積得三萬三千七百九十二尺又減去少二十根之共積得三萬三千一百五十二尺書于原積之下相減恰盡是開得三十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體多一平方複少二十根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多一平方又少二十根故成磬折體而非正方體也 設如有一立方少三平方多二根與一萬二千一百四十四尺相等問每一根之數幾何 法列原積一萬二千一百四十四尺按立方法作記于四尺上定單位二千尺上定十位其一萬二千尺爲初商積與二十自乘再乘之數相凖即定初商爲二十尺書于原積二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共積又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共積于立方積内減去少三平方之共積餘六千八百尺又加入多二根之共積得六千八百四十尺書于原積之下相減餘五千三百零四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉與立方廉相減餘一千零八十尺又加入根數二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書于原積四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共積又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共積于立方積内減去三平方之共積餘一萬二千零九十六尺又加入多二根之共積得一萬二千一百四十四尺書于原積之下相減恰盡是開得二十四尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體少三平方複多二根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少三平方又多二根故成磬折體而非正方體也 設如有四十平方少一立方與五千六百二十五尺相等問每一根之數幾何 法以四十平方少一立方與五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分