卷三十三

立方之一與一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲歸除所得之積按平方法作記于空尺上定單位一百尺上定十位其一百尺爲初商積與十尺自乘之數相合即定初商爲十尺書于所得積一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方積再乘得一千尺爲一立方積以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之積與一平方積相減餘七十五尺書于所得積之下相減餘六十五尺六十二寸五十分爲次商積而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉與平方廉相減餘十二尺五寸爲次商廉法以除次商積足五倍即定次商爲五尺書于所得積空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方積再乘得三千三百七十五尺爲一立方積以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之積與一平方積相減餘一百四十尺六十二寸五十分書于所得積之下相減恰盡乃以一平方積與四十相乘得九千尺爲四十平方積内減去一立方積餘五千六百二十五尺與原積相合是開得一十五尺爲每一根之數也此法以積計之爲四十平方少一正方體之數以邊計之則所得每根之數即平方之每一邊亦即正方體之每一邊因四十平方内少十五平方之一正方體【每邊爲十五尺故十五平方爲一正方體也】餘二十五平方爲長方體【其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其長爲二十五尺也】而非正方體也 設如有五百平方少一立方與二十七萬四千一百七十六尺相等問每一根之數幾何 法以五百平方少一立方與二十七萬四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一與五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲歸除所得之積按平方法作記于八尺上定單位五百尺上定十位其五百尺爲初商積與二十自乘之數相準即定初商爲二十尺書于所得積五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方積再乘得八千尺爲一立方積以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之積與平方積相減餘三百八十四尺書于所得積之下相減餘一百六十四尺三十五寸二十分爲次商積而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉與平方廉相減得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書于所得積八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方積再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之積與平方積相減餘五百四十八尺三十五寸二十分書于所得積之下相減恰盡乃以一平方積與五百相乘得二十八萬八千尺爲五百平方積内減去一立方積餘二十七萬四千一百七十六尺與原積相合是開得二十四尺爲每一根之數也此法以積計之爲五百平方少一正方體以邊計之則所得每根之數即平方之每一邊亦即正方體之每一邊因五百平方内少二十四平方之一正方體【每邊爲二十四尺故二十四平方即一正方體也】餘四百七十六平方爲長方體【其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其長爲四百七十六尺也】而非正方體也 設如有一三乘方多二平方與二萬一千零二十四尺相等問每一根之數幾何 法列原積二萬一千零二十四尺按三乘方法作記于四尺上定單位二萬尺上定十位其二萬尺爲初商積與十尺乘三次之數相準即定初商爲十尺書于原積二萬尺之上而以初商十尺乘三次之一萬尺爲一三乘方積又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共積與三乘方積相加得一萬零二百尺書于原積之下相減餘一萬零八百二十四尺爲次商積而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉與三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積四尺之上合初商共十二尺乘三次得二萬零七百三十六尺爲一三乘方積又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共積與三乘方積相加得二萬一千零二十四尺書于原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也 又法用帶縱平方及平方兩次開之将原積二萬一千零二十四尺爲長方積以多二平方作二尺爲縱多折半得一尺爲半較自乘仍得一尺與積相加得二萬一千零二十五尺開平方得一百四十五尺爲半和内減半較一尺【凡多平方者即減半較如少平方者則加半較】餘一百四十四尺爲正方積複開平方得十二尺即每一根之數也葢三乘方多平方與方根自乘爲闊加多平方數爲長所作之長方積等故用帶縱較數開平方法開之得數複開平方即得每一根之數也 設如有一千平方少一三乘方與一十二萬三千二百六十四尺相等問每一根之數幾何 法以一千平方少一三乘方與一十二萬三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一與一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲歸除所得之積按平方法作記于三尺上定單位一百尺上定十位其一百尺爲初商積與十尺自乘之數相合即定初商爲十尺書于所得積一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方積又以初商之十尺乘三次得一萬尺爲一三乘方積以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之積與一平方積相減餘九十尺書于所得積之下相減餘三十三尺二十六寸四十分爲次商積而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉與平方廉相減餘一十六尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于所得積三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺爲一平方積又以十二尺乘三次得二萬零七百三十六尺爲一三乘方積以一千除之得二十尺零七十三寸六十分與一平方積相減餘一百二十三尺二十六寸四十分書于所得積之下相減恰盡乃以一平方積與一千相乘得一十四萬四千尺爲一千平方積内減去一三乘方積餘一十二萬三千二百六十四尺與原積相合是開得一十二尺爲每一根之數也 又法用帶縱平方及平方兩次開之将原積一十二萬三千二百六十四尺爲長方積以一千平方作一千尺爲和折半得五百尺爲半和自乘得二十五萬尺與積相減餘十二萬六千七百三十六尺開平方得三百五十六尺爲半較與半和相減餘一百四十四尺爲正方積複開平方得一十二尺即每一根之數也葢平方少三乘方與方根自乘爲闊與平方數相減爲長所作之長方積等故用帶縱和數開平方法開之得數複開平方即得每一根之數也 設如有一四乘方多二立方與七百九十九萬零二百七十二尺相等問每一根之數幾何 法