卷三十三

列原積七百九十九萬零二百七十二尺按四乘方法作記于二尺上定單位九十萬尺上定十位其七百九十萬尺爲初商積與二十乘四次之數相準即定初商爲二十尺書于原積九十萬尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十萬尺爲一四乘方積又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一萬六千尺爲多二立方之共積與四乘方積相加得三百二十一萬六千尺書于原積之下相減餘四百七十七萬四千二百七十二尺爲次商積而以初商之二十尺乘三次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺爲多二立方之廉與四乘方廉相加得八十萬零二千四百尺爲次商廉法以除次商積足五倍因取略小之數爲四尺書于原積二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六萬二千六百二十四尺爲一四乘方積又以二十四尺自乘再乘之一萬三千八百二十四尺二因之得二萬七千六百四十八尺爲多二立方之共積與四乘方積相加得七百九十九萬零二百七十二尺書于原積之下相減恰盡是開得二十四尺爲每一根之數也葢四乘方多立方之數不與平方立方之數相合故不能以平方立方之法開也 設如有二千立方少一四乘方與一千九百六十八萬五千三百七十六尺相等問每一根之數幾何法以二千立方少一四乘方與一千九百六十八萬五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一與九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲歸除所得之積按立方法作記于二尺上定單位九千尺上定十位其九千尺爲初商積與二十自乘再乘之數相準即定初商爲二十尺書于所得積九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商之二十尺乘四次得三百二十萬尺爲一四乘方積以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之積與一立方積相減餘六千四百尺書于所得積之下相減餘三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉與立方廉相減餘八百尺爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書于所得積二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積又以二十四尺乘四次得七百九十六萬二千六百二十四尺爲一四乘方積以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸與一立方積相減餘九千八百四十二尺六百八十八寸書于所得積之下相減恰盡乃以一立方積與二千相乘得二千七百六十四萬八千尺爲二千立方積内減去一四乘方積餘一千九百六十八萬五千三百七十六尺與原積相合是開得二十四尺爲每一根之數也葢立方少四乘方之數亦不與平方立方之數相合故不能以平方立方之法開也 設如有一五乘方多四立方與一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺相等問每一根之數幾何 法列原積一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺按五乘方法作記于六尺上定單位三百萬尺上定十位其一億一千三百萬尺爲初商積與二十乘五次之數相準即定初商爲二十尺書于原積三百萬尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百萬尺爲一五乘方積又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三萬二千尺爲多四立方之共積與五乘方積相加得六千四百零三萬二千尺書于原積之下相減餘四千九百三十九萬零四百九十六尺爲次商積而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十萬尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉與五乘方廉相加得一千九百二十萬零四千八百尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書于原積六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一億一千三百三十七萬九千九百零四尺爲一五乘方積又以二十二尺自乘再乘之一萬零六百四十八尺四因之得四萬二千五百九十二尺爲多四立方之共積與五乘方積相加得一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺書于原積之下相減恰盡是開得二十二尺爲每一根之數也 又法用帶縱平方及立方開之将原積一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺爲長方積以多四立方作四尺爲縱多折半得二尺自乘得四尺與積相加得一億一千三百四十二萬二千五百尺開平方得一萬零六百五十尺爲半和内減半較二尺【因立方爲多号故減半較若立方爲少号即加半較】得一萬零六百四十八尺爲立方積開立方得二十二尺即每一根之數也葢五乘方多立方與方根自乘再乘爲闊加多立方數爲長所作之長方積等故用帶縱較數開平方法開之得數複開立方即得每一根之數也 設如有一萬立方少一五乘方與一千一百五十三萬八千四百三十九尺相等問每一根之數幾何法以一萬立方少一五乘方與一千一百五十三萬八千四百三十九尺俱以一萬除之得一立方少一萬分五乘方之一與一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲歸除所得之積按立方法作記于三尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書于所得積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺乘五次得一百萬尺爲一五乘方積以一萬除之得一百尺爲一萬分五乘方之一之積與立方積相減餘九百尺書于所得積之下相減餘二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商積而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十萬尺爲一五乘方廉以一萬除之得六十尺爲一萬分五乘方之一之廉與立方廉相減餘二百四十尺爲次商廉法以除次商積足一倍即定次商爲一尺書于所得積三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方積又以十一尺乘五次得一百七十七萬一千五百六十一尺爲一五乘方積以一萬除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一萬分五乘方之一之積與立方積相減餘一千一百五十三尺八百四十三寸九百分書于所得積之下相減恰盡乃以一立方積與一萬相乘得一千三百三十一萬尺爲一萬立方積内減去一五乘方積餘一千一百五十三萬八千四百三十九尺與原積相合是開得一十一尺爲每一根之數也 又法用帶縱平方及立方開之将原積一千一百五十三萬八千四百三十九尺爲長方積以一萬立方作一萬尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百萬尺與積相減餘一千三百四十六萬一千五百六十一尺開平方得三千六百六十九尺爲半較與半和相減餘一千三百三十一尺爲立方積開立方得一十一尺即每一根之數也葢立方少五乘方與方根自乘再乘爲闊與立方數相減爲長所作之長方積等故用帶縱和數開平方法開之得數複開立方即得每一根之數也 禦制數理精蘊下編卷三十三