卷三十六

尺多一百九十六根相等兩邊各減一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方與一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方旣與一百九十六根相等則二百六十四尺多一平方必與三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺為長方積以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長十八尺為一根之數卽立方之闊加長比闊多六尺得二十四尺卽立方之長長闊相加得四十二尺與長闊髙共五十八尺相減餘十六尺卽立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以闊十八尺自乘得三百二十四尺以長二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘數相加得一千一百五十六尺與對角斜線自乘之數相等也【此帶兩縱不同立方邊線面積和較相求法】 設如有帶兩縱不同立方體其長闊髙為相連比例三率長為首率闊為中率髙為末率共五十七寸其六面積共二千零五十二寸問長闊髙各幾何法借一根為長數則闊髙之共數為五十七寸少一根又以六面積共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸為三面積共數以長闊髙共五十七寸除之得一十八寸為闊數【因長為首率闊為中率髙為末率故其三面積一為首率乘中率一為末率乘中率一為首率乘末率而首率乘末率之數與中率自乘之數等則此三而積相合卽為首率中率末率之共數乘中率之數矣故以長闊髙之共數除之卽得中率為闊也】以闊一十八尺與闊髙之共數五十七寸少一根相減餘三十九寸少一根為髙數乃以首率長一根與末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平方與中率闊十八寸自乘之三百二十四寸相等乃以三百二十四寸為長方積以三十九根作三十九寸為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長二十七寸為一根之數卽立方之長數與髙長和三十九寸相減餘一十二寸卽立方之髙數以長二十七寸與闊十八寸之比同于闊十八寸與髙十二寸之比為相連比例三率也【此帶兩縱不同立方邊線面積相和比例法】 設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同于一與二闊與長之比例同于二與三以髙自乘再乘之數與闊自乘再乘之數相加比原體積多一千零二十九寸問長闊髙各幾何 法借一根為髙數則闊數為二根長數為三根以闊二根與長三根相乘得六平方再以髙一根乘之得六立方為原體積又以髙一根自乘再乘得一立方以闊二根自乘再乘得八立方相并得九立方内減原體積六立方餘三立方與一千零二十九寸相等三立方旣與一千零二十九寸相等則一立方必與三百四十三寸相等乃以三百四十三寸開立方得七寸為一根之數卽立方之髙數倍之得十四寸卽立方之闊數三因之得二十一寸卽立方之長數以長二十一寸與闊十四寸相乘得二百九十四寸再以髙七寸乘之得二千零五十八寸為原體積又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸闊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸相并得三千零八十七寸與原體積相減餘一千零二十九寸以合原數也【此帶兩縱不同立方邊線體積比例法】 設如有甲乙丙三正方體甲方邊與乙方邊之比例同于二與三乙方積比甲方積多一百五十二寸丙方積比乙方積多七百八十四寸問三正方體之邊數各若幹 法借二根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為三根以二根自乘再乘得八立方為甲方之體積以三根自乘再乘得二十七立方為乙方之體積兩體積相減餘一十九立方與一百五十二寸相等十九立方旣與一百五十二寸相等則一立方必與八寸相等乃以八寸開立方得二寸為一根之數倍之得四寸卽甲方毎邊之數三因之得六寸卽乙方毎邊之數自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸開立方得十寸卽丙方毎邊之數也【此三正方體邊線體積比例法】 設如有帶兩縱不同立方體髙比闊為五分之一闊比長亦為五分之一體積六十一萬四千一百二十五尺問髙闊長各幾何 法借一根為髙數則闊數為五根長數為二十五根以闊五根與長二十五根相乘得一百二十五平方再以髙一根乘之得一百二十五立方與六十一萬四千一百二十五尺相等一百二十五立方旣與六十一萬四千一百二十五尺相等則一立方必與四千九百一十三尺相等乃以四千九百一十三尺開立方得十七尺為一根之數卽立方之髙以五乘之得八十五尺卽立方之闊以二十五乘之得四百二十五尺卽立方之長也乃以長闊相乘得三萬六千一百二十五尺再以髙乘之得六十一萬四千一百二十五尺以合原數也【此帶分比例開立方法】 設如有一大長方體其闊三倍于髙其長三倍于闊又有一小長方體比大長方體髙為二分之一闊為三分之二長為九分之七小長方體積二萬三千六百二十五寸問大小二長方體之長闊髙各幾何 法借一根為大長方體之髙則大長方體之闊為三根大長方體之長為九根小長方體之髙為半根小長方體之闊為二根小長方體之長為七根乃以長七根與闊二根相乘得一十四平方再以髙半根乘之得七立方為小長方體積與二萬三千六百二十五寸相等七立方旣與二萬三千六百二十五寸相等則一立方必與三千三百七十五寸相等乃以三千三百七十五寸開立方得十五寸為一根之數卽大長方體之髙三因之得四十五寸卽大長方體之闊又以三因之得一百三十五寸卽大長方體之長以大長方體之髙折半得七寸五分卽小長方體之髙以大長方體之闊三歸二因得三十寸卽小長方體之闊以大長方體之長九歸七因得一百零五寸卽小長方體之長以小長方體之長闊相乘再以髙乘之得二萬三千六百二十五寸以合原數也【此帶分比例開立方法】 設如有人買馬三次第二次比第一次多一倍第三次比第二次多一倍以第三次馬數四分之一與第二次馬數之一半相乘又與第一次馬數三分之一相乘得六千五百六十一匹問三次所買馬數各若幹 法借三根為第一次買馬之數【第一次分母數】則第二次買馬之數為六根第三次買馬之數為十二根以第三次四分之一三根與第二次之一半三根相乘得九平方又與第一次三分之一一根相乘得九立方與六千五百六十一匹相等九立方旣與六千五百六十一匹相等則一立方必與七百二十九匹相等乃以七百二十九匹開立方得九匹為一根之數三因之得二十七匹為第一次買馬之數倍之得五十四匹為第二次買馬之數又倍之得一百零八匹為第三次買馬之數以第三次四分之一二十七匹與第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原數也【此帶分比例開立方法】 設如有馬牛羊各不知數但知牛數比馬數多四羊數與馬牛相乘之數等馬毎匹之價與牛數等牛毎頭之價與馬數等羊毎隻之價比馬毎匹價少十兩而羊之共價為一百九十二兩問馬牛羊及價銀各若幹 法借一根為馬數則牛數為一根多四以馬數一根與牛數一根多四相乘得一平方多四根為羊數馬價與牛數等為一根多四兩則羊價為一根少六兩以羊數一平方多四根與羊價一根少六兩相乘得一立方少二平方少二十四根為羊之共價與一百九十二兩相等乃以一百九十二兩為磬折扁方體積用帶縱開立方法算之得八為一根之數卽馬數亦卽牛毎頭之價為八兩也加牛比馬多四得十二為牛數亦卽馬毎匹之價為十二兩也以馬數八與牛數十二相乘得九十六為羊數以羊數九十六歸除羊共價一百九十二兩得二兩為羊毎隻價比馬一匹之價少十兩也【此磬折扁方體求邊法】 設如有馬騾運重其共馬數比馬毎匹所防之數多二十騾毎匹所防之數比共馬數多三十其共騾數與馬所防之共數等但知騾共防一千一百萬斤問馬數騾數及所防之斤數各若幹 法借一根為共馬數則馬毎匹所防之斤數為一根少二十斤騾毎匹所防之數為一根多三十斤以共馬數一根與馬毎匹防一根少二十斤相乘得一平方