卷三十七

與每年三十五両相乘得二百八十両是為每房六間租一百二十両适足每房八間租二百八十両盈二千一百六十両乃以六間互乘二百八十両得一千六百八十両以八間互乘一百二十両得九百六十両相減餘七百二十両為一率以六間與八間相乘得四十八間為二率以利銀二千一百六十両為三率得四率一百四十四間即房之總數也又以六間為一率五年得一百二十両為二率總房一百四十四間為三率得四率二千八百八十両即房價或以八間為一率八年得二百八十両為二率總房一百四十四間為三率得四率五千零四十両内減利銀二千一百六十両亦得二千八百八十両為房價也此法葢因五年八年之數不同故以五年八年與每年銀數相乘作總得租銀算也 設如有銀買物不知銀數亦不知物價但雲取銀六分之五買之則多六両取銀四分之三買之仍多二両問銀數及物價各幾何 法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十相減餘二分為一率盈六両與盈二両相減餘四両為二率両分母互乘得二十四分為三率求得四率四十八両即為銀數取六分之五為四十両減盈六兩得三十四両為物價或取四分之三得三十六両減盈二両亦得三十四両為物價也 又先得物價之法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両為加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両為加二十倍乃以十八倍與二十倍相減餘二倍為一率互乘所得両盈數相減餘六十八両為二率一倍為三率求得四率三十四両即物價加盈六両得四十両即原銀六分之五乃用五歸六因得四十八両為原銀數或于物價三十四両加盈二両得三十六両即原銀四分之三乃用三歸四因亦得四十八両為原銀數也此盈朒單法因帶分母子不同故用通分互乘以齊其分耳 設如有銀買米不知米數亦不知米價隻雲買米四分之一用銀二十両則米少一石若買三分之一用銀二十四両則米多二石問米數及米價各幾何 法以前分母四互乘得分子一得四以後分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得後分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也既得米價乃以八錢除二十両得二十五石減朒一石餘二十四石為米四分之一以四因之得九十六石即米數或以八錢除二十四両得三十石加盈二石得三十二石為米三分之一以三因之亦得九十六石為米數也葢以分母互乘前則為十二分之三後則為十二分之四【両分母互乘得十二】又以分子互乘前則為米十二分【両分子互乘亦得十二分】用銀八十兩朒四石後則為米十二分用銀七十二両盈六石夫米之分數既同而銀差八両則盈朒差十石故知十石價八両即知一石價八錢也此防套盈朒之法但有米之分數又有石數故立法微不同若止帶零分則惟用通分法餘俱與防套盈朒之法同 又先得米數之法以銀數列于上分數列于下乃以前分母四互乘後分子一得四以後分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘後所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分與八十分相減餘八分為一率朒二十四石與盈四十石相加得六十四石為二率両分母互乘得十二分為三率求得四率九十六石即原米數也既得米數四歸之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八錢為米價或将米數三歸之得三十二石減盈二石餘三十石以除二十四両亦得八錢為米價也葢用互乘前則為四百八十両【二十両與二十四両互乘得四百八十両】買米十二分之七十二朒二十四石後則為四百八十両買米十二分之八十盈四十石夫銀數既同而米差八分則盈朒相差六十四石故知八分為六十四石即知十二分為九十六石也 又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石【因四分之一價二十両故用四因為米總價】又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石【因三分之一價二十四両故用三因為米總價】作盈朒單法算以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也此法葢因分數整齊故可比例而得其全分之價若有竒零則湏用前法或用通分法算之 設如有一數不知幾何但雲以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百問原數幾何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三數相加得一千九百八十并所加之四十共二千零二十與共數六千七百相減餘四千六百八十為連乘之整數乃借一衰為原數以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰為一率原數一衰為二率以連乘整數四千六百八十為三率求得四率十三即為原數也此法葢因三乘原數外加一十而又用四乘五乘六乘則此一十己用四乘五乘六乘矣四乘後加二十而又用五乘六乘則此二十已用五乘六乘矣五乘後加三十而又用六乘則三十已用六乘矣故将一十二十三十之數亦用連乘并後所加之四十與共數相減然後為三四五六與原數連乘之整分而以三四五六連乘所得之三百六十與原數一為比例即同于今三四五六連乘所得之四千六百八十與原數十三之比例也 設如甲乙二車運糧甲車先行二日乙車後行五日追及甲車比乙車運價少五錢又甲車先行二日乙車後行七日追過甲車八十裡甲車比乙車運價少一両一錢問甲乙二車日行裡數及運價各幾何 法以乙車五日為正甲車七日為負裡數相等作一空位【甲車先行二日乙車行五日追及是乙車行五日甲車行七日其裡數相等】運價多五錢為正列于上又以乙車七日為正甲車九日為負過八十裡為正運價多一両一錢為正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十裡多一両一錢得乙三十五日仍為正甲四十五日仍為負多行四百裡運價多五両五錢仍為正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日運價多五錢得乙三十五日仍為正甲四十九日仍為負多三両五錢仍為正相等無可乘仍為空位于是以上層為主両下相較則乙各三十五日彼此減盡甲両下相減餘四日本層少變負為正裡數無可加減仍得四百裡為正價両下相減餘二両依本層為正即甲車四日行四百裡運價二両也以四日除四百裡得一百裡為甲車每日所行之裡數以四日除二両得五錢即甲車每日之運價以乙車七日比甲車九日多行八十裡價多一両一錢計之則甲車九日行九百裡加多八十裡共九百八十裡為乙車七日所行之裡數以七日除之得一百四十裡即乙車每日所行之裡數甲車九日運價四両五錢加多一両一錢共五両六錢為乙車七日之運價以七日除之得八錢即乙車每日之運價也此法因有裡數運價二種或名疊腳然不過除両次耳若裡數為較運價為和難以分列正負者則分両法算之 設如甲乙丙三人有銀各不知數隻雲甲得乙銀二分之一乙得丙銀三分之一丙得甲銀四分之一則各得七百兩問三人原銀各幾何 法先以甲三分乙一分共七百両列于上【甲原銀四分丙得去一分餘三分又得乙一分故為甲三分乙一分共七百両丙無數作空位以足其分】又以甲一分丙二分共七百両列于下【丙原銀三分乙得去一分餘二分又得甲一分故為甲一分丙二分共七百両乙無數亦作空位以足其分】乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原數于是以下層為主両下相較則甲各三分彼此減盡乙一分無可減仍為一分依本層為正丙六分無可減仍為六分本層無數則為負銀両下相減餘一千四百両本層少爲負即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分為正丙六分為負少一千四百両為負列于上又以乙一分丙一分共七百兩列于下【乙原銀二分甲得去一分餘一分又得丙一分故為乙一分丙一分共七百両因為和數故不用号】因首色皆為一故省互乘両下相較則乙各一分彼此減盡丙六與丙一相加得七分銀一千四百與七百相加得二千一百両即為丙七分之共數以七除之得三百両為丙一分之數以丙原銀三分乘之得九百両為丙之銀數以乙一分丙一分共七百両計之則于七百両内減去丙一分三百両餘四百両即乙一分之數以乙原銀二分乘之得八百両為乙之銀數以甲三分乙一分共七百両計之則于七百両内減去乙一分四百両餘三百両三歸之得一百両即甲一分之數以甲原銀四分乘之得四百両為甲之銀數也 設如有長方面積八百六十四歩一長二闊三和四較共三百一十二歩問長闊各幾何 法以積數八因之得六千九百一十二歩為大長方形積乃以長闊和較共數三百一十二歩為長闊和折半得一百五十六歩為半和自乘得二萬四千三百三十六歩與六千九百一十二歩相減餘一萬七千四百二十四歩開平方得一百三十二歩為半較與半和一百五十六歩相減得二十四歩為原闊數以闊除原積八百六十四歩得三十六歩為原長數也此法葢因三和内有三長三闊加一長二闊共四長五闊如以四較加于四闊則又成四長是共得八長一闊此三百一十二歩即八長一闊之共數今将原積八倍之成一大長方形其闊即原闊其長為原長之八倍故以三百一十二為長闊和求得闊即為原闊以原闊除原積即得原長也 設如買果木樹不知樹數亦不知樹價但知樹每株之價為樹共數之六倍而每株腳錢六文其腳錢并樹價共三千六百文問樹每株價及樹數各幾何 法先以共錢三千六百文六因之得二萬一千六百文為長方積腳錢六文為縱多爰以縱多六文折半得三文為半較自乘得九文與二萬一千六百文相加得二萬一千六百零九文開平方得一百四十七文為半和内減半較三文得一百四十四文為樹每株之價六歸之得二十四為樹之共數也此法以樹數為闊樹價并腳錢為長成長方形因每株之價為樹數之六倍是長為闊之六倍又多六文故六倍其積則長比闊多六文故以帶縱開方法算之得闊為樹價六歸之得樹數也 設如一河寛一丈二尺中間生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸适與岸齊問蒲長水深各幾何法以河寛一丈二尺折半得六尺為勾以蒲稍出水三尺為股?較乃以勾六尺自乘得三十六尺以股?較三尺除之得一十二尺為股?和加股?較三尺得一十五尺折半得七尺五寸為?即蒲之長内減股?較三尺餘四尺五寸為股即水之深也如圖甲乙為河寛丙丁為蒲長與甲丁等戊丁為水深丙戊為蒲稍出水三尺故戊丁為股甲戊為勾甲丁為?丙戊為股?較用有勾有股?較之法求得股為水深得?