卷三十七

為蒲之長也 設如圓柱髙二十一尺周四尺以繩自底至末繞柱七周與柱适齊問繩長幾何 法以柱周四尺七因之得二十八尺為股柱髙二十一尺為勾求得?三十五尺即繩之長也此法葢合七勾股為一勾股算也如圖甲乙為柱髙二十一尺甲丙為七分之一若将柱面平鋪之成一平面則丙丁即柱周四尺甲丁即繩繞柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙為甲丙之七倍繩長為甲丁之七倍故将柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙為勾乙戊為股求得甲戊?即繩長也 設如一方匣内對角斜容一比例尺長一尺一寸寛三寸問匣方邊幾何 法以比例尺寛三寸與長一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半開方得九寸八分九厘九豪即方匣之邊數也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙為對角斜線癸壬為比例尺之長壬乙與丁癸二叚與己庚寛度等葢以己庚度作己子醜庚正方形則乙為方之中心壬乙為己庚方邊之一半與壬庚等而壬乙與丁癸両段即與己庚等故以比例尺之長闊相加即為丁乙對角斜線用斜求方之法自乘折半開方即得方邊也 設如三角形底二丈八尺小腰與中垂線之較二尺大腰與中垂線之較六尺問両腰各幾何 法借一衰為中垂線則小腰為一衰多二尺小腰與中垂線之和為二衰多二尺與小腰較二尺相乗得四衰多四尺為小分底自乘方積大腰為一衰多六尺大腰與中垂線之和為二衰多六尺與大腰較六尺相乘得十二衰多三十六尺為大分底自乘方積以両方積相較則大分底方為小分底方之三倍多二十四尺【大分底方十二衰為小分底方四衰之三倍即将小分底方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺與大分底方十二衰多三十六尺相減仍餘二十四尺】乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内減去所多之二十四尺餘七百六十尺為小分底自乘四正方小分底乘大分底二長方積折半得三百八十尺為小分底自乘二正方小分底乘大分底一長方積共成一大長方底二十八尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十尺為小分底自乘得一百尺以小腰較二尺除之得五十尺為小腰與中垂線之和内加小腰較二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰較二尺與大腰較六尺相減餘四尺即大腰與小腰之較與小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底自甲角作甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股?和與甲乙甲丁股?較相乘則得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形【見勾股法】以甲丁甲丙股?和與甲丁甲丙股?較相乘則得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既為乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故于乙壬癸丙大正方形内減去二十四尺餘者即與乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛為大分底乘小分底二長方共成醜寅卯丙一長方形折半得醜辰己丙長方形乙丙即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊為乙丁小勾自乘以股?較除之得股?和故加股?較折半即得甲乙為?也或求得甲丙邊亦同 設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊較三尺八寸求乙角丙角度幾何 法依甲丙邊度截甲乙邊于丁餘乙丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成乙丁丙鈍角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率乙丁邊三尺八寸為二率甲角五十三度八分與一百八十度相減餘一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁鈍角之外角【與丁丙甲角等】其正?八萬九千四百四十一為三率求得四率二萬七千八百五十八為丙分角正?撿表得十六度十分為丙分角與丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角與丁外角相減餘四十七度十六分即乙角度也 設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙邊一丈一尺二寸甲乙乙丙両邊較二尺八寸求乙角丙角度各幾何 法依乙丙邊度截甲乙邊于丁餘甲丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成甲丁丙鈍角形乃以甲丁邊二尺八寸與甲丙邊一丈一尺二寸相加得一丈四尺為一率甲丁與甲丙相減餘八尺四寸為二率甲角半外角六十三度二十六分之正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率一十一萬九千九百九十一為半較角切線撿表得五十度十二分為半較角度與半外角相減餘十三度十四分為丙分角倍之與甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角與甲角相加則得丙丁乙角與丙大分角等是丙大分角與一丙小分角一甲角之度等故倍小分角與甲角相加得丙全角也 設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊和二丈六尺二寸求丙角乙角度各幾何 法以甲乙與甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁線成丁乙丙三角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率丙丁邊二丈六尺二寸為二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角【與甲乙丁角等】其正?四萬四千七百二十四為三率求得四率九萬六千零四十六為丙乙丁角正?撿表得七十三度五十分為丙乙丁角内減半甲角二十六度三十四分【即甲乙丁角】餘四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相并與半周相減餘七十九度三十六分即丙角度也 設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙邊一丈五尺甲丙乙丙両邊和二丈三尺四寸求乙角丙角度幾何 法以甲丙與乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁線成甲乙丁三角形乃以甲丁邊二丈三尺四寸與甲乙邊一丈五尺相加得三丈八尺四寸為一率甲丁邊與甲乙邊相減餘八尺四寸為二率甲角五十三度八分與半周相減折半得半外角六十三度二十六分其正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率四萬三千七百四十七為半較角切線撿表得二十三度三十八分為半較角與半外角相減餘三十九度四十八分為丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也 設如有一旗杆不知其髙用日影測之問髙幾何法先立一表長五尺看影長幾尺如得四尺同時看旗杆影為幾尺如得二丈四尺乃以表影長四尺為一率表髙五尺為二率旗杆影長二丈四尺為三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙為旗杆乙丙為旗杆影丁戊為表髙戊己為表影甲乙丙與丁戊己為同式勾股形故己戊與丁戊之比同于乙丙與甲乙之比也 設如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影測之問塔髙幾何 法先立一表長六尺影長四尺同時看塔影所至記之閱時看表影長五尺塔影比先所記之處長幾尺如得八尺乃以表影差一尺為一率表髙六尺為二率影差八尺為三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙為塔髙乙丙為先所記塔影乙丁為後所記塔影戊己為表髙己庚為先所記表影己辛為後所記表影戊庚辛與甲丙丁戊己庚與甲乙丙皆為同式形故庚辛與戊己之比同于丙丁與甲乙之比也 設如逺望一村欲知其逺用放鎗騐時儀墜子之問逺幾何 法令一人在村邊放鎗一見煙出即用騐時儀墜子之一聞鎗響即止計自見煙至聞響得幾秒如得三秒即以一秒為一率一百二十八丈五尺七寸為二率三秒為三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢響與煙一時并出其見煙而未聞響者聲未至也故自見煙至聞響之分即路逺之分嘗以其分較之路逺五裡得七秒以七歸之每秒得一百二十八丈五尺七寸聞雷亦然自一見電光至聞雷響其秒數即得裡數也 設如梭形闊四尺中長九尺求積幾何 法以中長九尺與闊四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形積也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁與甲丙相乘則成戊己庚辛長方形其積比梭形多一倍故半之為梭形積也此法必甲乙與乙丙等甲丁與丁丙等或甲乙與甲丁等乙丙與丁丙等則其中長适為両三角形之垂線故長闊相乘折半而得積也若中長不得為垂線則湏先量得四邊數及長數或闊數用三角形求中垂線法算之 設如三廣形上闊三尺中闊五尺下闊四尺上截長六尺下截長四尺求積幾何 法以中闊五尺與上闊三尺相加折半得四尺與上截長六尺相乘得二十四尺又以中闊五尺與下闊四尺相加折半得四尺五寸與下截長四尺相乘得十八尺両數相并得四十二尺即三廣形積也如圗甲乙丙丁戊己三廣形以乙戊線分之則成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求積之法【見第十九卷直線形】求得両梯形之積而并之即為三廣形積也舊術以上下闊相加折半加中闊與長相乘得積此必上下両截長數相等者然後可算若上下不相等湏用両梯形算之 設如眉形両尖相距?長二十四尺外弧距?九尺内弧距?四尺求積幾何 法以両尖相距二十四尺為?外弧距?九尺為矢用弧矢求積法以矢九尺為首率?二十四尺折半得十二尺為中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺為圜徑折半得半徑十二尺五寸為一率半?十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率九萬六千為半外弧之正?撿八線表得七十三度四十五分為半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分為外弧之度分乃以三百六十度為一率外弧一百四十七度半為二率全徑二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九厘八豪為三率求得四率三十二尺一寸七分九厘五豪為外弧之數與半徑十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分為自圜心所分弧背三角形積又以矢九尺與半徑十二尺五寸相減餘三尺五寸與?二十四尺相乘折半得四十二尺為自圜心至?所分直線三角形積與弧背三角形積相減餘一百五十九尺一十二寸一十八分為外弧矢全積【見第二十卷曲線形】又以両尖相距二十四尺為?内弧距?四尺為矢亦用弧矢求積法求得内弧矢虛積六十五尺三十七寸六十分與外弧矢積相減餘九十三尺七十四寸五十八分即眉形積也如圗甲乙丙丁眉形甲丙為?乙戊為外弧矢丁戊為内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形積又求得甲丁丙戊弧矢形積相減即得甲乙丙丁眉形積也 設如橄防形長二尺四寸闊八寸求積幾何 法以長二尺四寸為?闊八寸折半得四寸為矢用弧矢求積法求得弧矢積六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄防形積也如圗甲乙丙丁橄防形自甲至丙作甲丙線平分乙丁于戊則成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形積倍之即橄防形積也 設如錢形徑一尺二寸求積幾何 法以錢形徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三厘又求得内容方積七十二寸相減餘四十一寸零九分七十三厘倍之得八十二寸一十九分四十六厘即錢形積也如圖甲乙丙丁錢形作戊己己庚庚辛辛戊四線則分為壬癸子醜寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形積又求得戊己庚辛内方積相減餘壬癸子醜四弧矢形倍之即得錢形積也