卷三十七

設如銀錠形徑一尺二寸求積幾何 法以銀錠形徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即銀錠形積也如圖甲乙丙丁戊己銀錠形以甲丁徑自乘折半則得乙丙戊己正方其所虛庚辛二弧矢形與所盈壬癸二弧矢形之積等故乙丙戊己正方積即與銀錠形之積等也 設如甲乙丙丁四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘甲圜徑比乙圜徑多三尺乙圜徑比丙圜徑多三尺丙圜徑比丁圜徑多二尺問四圜徑各幾何 法用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘為三率求得四率二百七十七尺為四平方共積乃以丙圜徑比丁圜徑所多之二尺自乘得四尺又以乙圜徑比丁圜徑所多之五尺【丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故乙比丁多五尺】自乘得二十五尺又以甲圜徑比丁圜徑所多之八尺【乙比丁多五尺甲又比乙多三尺故甲比丁多八尺】自乘得六十四尺三數相并得九十三尺與四平方共積二百七十七尺相減餘一百八十四尺為長方積以丙圜徑比丁圜徑多二尺乙圜徑比丁圜徑多五尺甲圜徑比丁圜徑多八尺相加得十五尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺二歸之得四尺即丁圜徑加二尺得六尺即丙圜徑再加三尺得九尺即乙圜徑再加三尺得十二尺即甲圜徑也如圖甲乙丙丁四平圜形變為甲乙丙丁四平方形則四圜徑之較即四方邊之較故于四方形内減去壬癸子三較方餘戊己庚辛四小正方醜寅卯辰巳午六長方共成未申酉戌一長方戌亥為長闊之較即三邊較之共數故用帶縱較數開平方法算之得闊折半而得丁方邊即丁圜徑遞加之即得甲乙丙各圜徑也 設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方邊離圜界五丈方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分問方邊圜徑各幾何 法以方邊離圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈與方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相減餘二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜積定率七八五三九八一六與方積定率一○○○○○○○○相減餘二一四六○一八四為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分為三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分為長方積又以二一四六○一八四為一率一○○○○○○○○為二率以方邊離圜界五丈四因之得二十丈為三率求得四率九十三丈一尺九寸五分為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内圜徑加方邊離圜界共十丈得二十丈即外方邊也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方邊離圜界五丈自乘四因與積相減則減去己庚辛壬四小方形餘癸子醜寅四長方形及卯辰巳午四隅積今欲以卯辰巳午四隅積補足戊圜虛積共成未申酉戌長方形應以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率今所餘之卯辰巳午方内圜外積為三率則得四率為未亥方積而戊圜虛積即補足在其中然今乃以卯辰巳午四隅積并癸子醜寅四長方積共為三率則戊圜虛積固已補足而癸子醜寅四長方積必多補出之分是知癸子醜寅四長方形其寛仍為戌酉而亥酉之長必亦多補出之分矣【癸子醜寅四長】【方形為二平行線内直角方形其面之互相為比同于其底之互相為比見幾】【何原本八卷第七節】故又以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率以方邊離圜界五丈四因之得亥酉之長為三率求得四率即将亥酉之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得未申闊即為内圜徑也 設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方角離圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分問方邊圜徑各幾何 法以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈與方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相減餘五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢積二八五三九八一六為一率【方積一○○○○○○○○方内容圜積七八五三九八一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六為弧矢積】圜内容方積五○○○○○○○為二率今減餘積五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分為三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分為長方積又以二八五三九八一六為一率五○○○○○○○為二率以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内圜所容方邊以四隅方邊十五丈倍之得三十丈與内圜所容方邊十丈相加得四十丈即外方邊以内圜所容方邊十丈求得對角斜線十四丈一尺四寸二分即内圜徑加方角離圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方對角斜線也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角離圜界甲卯自乘倍之與積相減則減去己庚辛壬四小正方形【以甲卯自乘折半得己正方形積故甲卯自乘倍之即得四正方形積也】餘癸子醜寅四長方形而内虛未申酉戌四弧矢形今欲以所虛之未申酉戌四弧矢形變為卯辰巳午一正方形應以定率弧矢積為一率方積為二率未申酉戌四弧矢虛積為三率則得四率為卯辰巳午虛方積然今無未申酉戌四弧矢虛積而以癸子醜寅四長方形内虛未申酉戌四弧矢形之餘積為三率實積既變則虛積亦變故求得四率為卯辰亥幹長方形而内虛卯辰巳午正方形葢癸子醜寅四長方實積與午巳亥幹長方積之比同于弧矢積與方積之比則其所虛之未申酉戌四弧矢形與卯辰巳午正方形之比亦同于弧矢積與方積之比而癸子醜寅之共長與長亥之比亦必同于弧矢積與方積之比矣故以四長方之共邊比例得辰亥邊為長闊和求得卯辰闊為内圜所容正方形之每一邊也 設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方角五丈圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分問圜徑方邊各幾何 法以圜界離方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜積定率七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分為三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内減所得一百丈餘二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢積二八五三九八一六【方積一○○○○○○○○内容圜積七八五三九八一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六】用圜積變方積法通之得三六三三八○二三為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分為三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸為長方積又以三六三三八○二三為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方角五丈四因之得二十丈為三率求得四率五十五丈零三寸八分七厘四豪為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内方對角斜線用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方邊以内方對角斜線十丈加圜界離方角共十丈得二十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而多醜寅卯辰四弧矢形所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積多醜寅卯辰四弧矢形故所變之方環亦多醜寅卯辰四弧矢形所變之積也以圜界離方角五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小方形餘酉戌亥幹四長方形及醜寅卯辰四弧矢形所變之積今欲以醜寅卯辰四弧矢形所變之積補成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮長方形應以定率四弧矢形已變之積為一率方積為二率【設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七八五三九八一六圜内容方積為五○○○○○○○内圜積與内方積相減餘二八五三九八一六是二八五三九八一六與一○○○○○○○○相比為弧矢積與外方積之定率也然今所多之四弧矢積先已用圜率變為方率故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率弧矢積二八五三九八一六為三率得四率三六三三八○二三是三六三三八○二三與一○○○○○○○○相比為已變之弧矢積與外方積之定率也】今所多之醜寅卯辰四弧矢形已變之積為三率則得四率為辛壬癸子正方積然今乃以醜寅卯辰四弧矢形已變之積并酉戌亥幹四長方積共為三率則辛壬癸子正方積固已補足而酉戌亥幹四長方必多補出之分是知酉戌亥幹四長方其寛仍為子癸而癸坎之長必亦多補出之分矣故又以四弧矢形已變之積為一率方積為二率以圜界離方邊五丈四因之得癸坎之長為三率求得四率即将癸坎之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得辛壬闊即内方對角斜線也 設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方邊十五丈圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分問圜徑方邊各幾何法以圜界離方邊十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜積方積定率比例圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分為三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内減所得九百丈餘五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外積二一四六○一八四【方積一○○○○○○○○内容圜積七八五三九八一六相減餘二一四六○一八四】用圜積變方積法通之得二七三二三九五五為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分為三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分為長方積又以二七三二三九五五為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内方邊加圜界離方邊共三十丈得四十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而少醜寅卯辰四隅所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積少醜寅卯辰四隅故所變之方環亦少醜寅卯辰四隅所變之積也以圜界離方邊十五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小正方形餘酉戌亥幹四長方形而内少醜寅卯辰四隅所變之積今欲以所虛之醜寅卯辰四隅形所變之積作為辛壬癸子正方形應以定率四隅形已變之積為一率方積為二率【設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七八五三九八一六相減餘二一四六○一八四是三一四六○一八四與一○○○○○○口○相比為圜外四隅積與外方積之定率也然今所少者乃圜外四隅積用圜積方積比例之數故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率圜外四隅積二一四六○一八四為三率求得四率二七三二三九