卷三十七

五五是二七三二三九五五與一○○○○○○○○相比為已變之四隅積與外方積之定率也】醜寅卯辰四隅形已變之虛積為三率則得四率為辛壬癸子虛方積然今無辛壬癸子四隅形已變之虛積而以酉戌亥幹四長方内虛醜寅卯辰四隅形之餘積為三率實積既變則虛積亦變故求得四率為辛壬坎艮長方形而内虛辛壬癸子正方形葢酉戌亥幹四長方實積與子癸坎艮長方形之比同于己變之四隅積與方積之比則其所虛之醜寅卯辰四隅已變之積與辛壬癸子正方形之比亦同于己變之四隅積與方積之比而酉戌亥幹之共長與壬坎之比亦少同于己變之四隅積與方積之比矣故以四長方之共邊比例而得壬坎邊為長闊和求得辛壬闊為内方邊也 設如有一大　　　　　　　　【寸】球體内容四　　　　　　　　　　　　　　【為】小球　　　　　　　　　　　　　　　　　【長】體大球徑一 尺二　　　　　　【方】寸求小 球徑幾何法以大球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八 積以大　　　　　　　　　　　【分】球徑一尺二寸四因之得四尺八寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊五寸三分九厘三豪即 内容四　　　　　　　　　　　【之】小球之徑也如圖甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】乙大 球體内容丙丁戊　　　　　　　　　　　　　　　【故】己四小球體　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】試自四小球之中心俱各作線聮之則成 一四等面體　　　　　　　　　　　　　【癸】又以甲乙大球心為【丁】心丙丁戊己小球心為界作一虛圓則 成　　　　　　　　　【子】四等面體外切圓球體其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【正】四面 體之一邊即小球徑　　　　　　　　　　　　　　　　【方】以四面體　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】外 切丁　　　　　　　　　　【為】庚虛球徑　　　　　　　　　　　　　　　【丁】加一小球徑即大 球徑故以大球徑自乘得甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【庚】乙辛壬正【辛醜即四面體每邊自】方形内甲癸丁子為小 球徑　　　　　　　　　　【乘】自乘方丁庚辛醜為四面體外 切圓球徑自乘方癸乙庚丁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】子丁醜壬為四面體之每邊與外切圓球徑相乘二長方凡四面體每邊【見第二十八卷球内容四面體法】自乘方為外切圓球徑自乘方三正方形三分之二将甲乙辛壬正方形倍之則得甲癸丁子二正方丁庚辛醜二正方癸乙庚丁四長方而丁庚辛醜二正方為甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四長方即與寅卯辰巳長方積等其巳午長 闊之較為甲乙　　　　　　　　　　　　　　【開】球徑之四倍故四因大球徑為較縱求得闊即小球徑也如 先有　　　　　　　　　　【平】小球徑　　　　　　　　　　　　　　【方】求大球徑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】則以小球徑為四面體之一邊自乘二歸三因 開平方得四面　　　　　　　　　　　　　　【算】體外切圓球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】徑再 加　　　　　　　　　【得】一小 球徑即大球　　　　　　　　【闊】徑也設如有　　　　　　　　　　　　　　【四】一大　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】球體内容六 小球　　　　　　【九】體大球 徑一尺　　　　　　　　　　　【分】二寸求小球徑幾何法以大 球徑一尺三寸自乘得　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】一尺四十四寸為長方積以大球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為長闊之較用帶縱較數 厘即内容六小　　　　　　　　　　　　　　【大】球之徑數也如圖甲 乙　　　　　　　　　【球】大球體内容丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【徑】六小球體試自六小球之中心俱各作線聮之則成一八等面體其八面體之一 【則】邊即小球徑以八面體之對角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【以】線 加一　　　　　　　　　　【小】小球徑即　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球徑故以大球 徑自乘得甲乙壬癸正方形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【徑】内甲子丙【為即八面體每邊自乘】醜為小球徑自乘方丙戌壬寅為八面體對角線自乘方子乙戊丙醜丙寅癸為八面體之每邊與對角線相乘二長方凡八面體每邊自乘方為對【方見第二十七卷八面體】角線自乘方之一半故丙戊壬寅一正方與甲子丙醜二正方等是甲乙壬癸一正方共為甲子丙醜三正方子乙戊丙二長方與卯辰 巳午長方積等其午　　　　　　　　　　　　　　　　【法】未長闊之較為甲乙球徑之二倍故倍大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求八面體之一邊自乘加倍開方得對角 線再加一小　　　　　　　　　　　　　【小】球徑即　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球 徑也設如一大球體内容八小球體大球徑一尺二 寸　　　　　【徑】求小球 徑幾何　　　　　　　　　　　【乘】法以大球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸為 長　　　　　　　　　【正】方積以大球徑一尺二寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊 四寸三分九厘二豪　　　　　　　　　　　　　　　　【方】即内容八小球 之徑數　　　　　　　　　　　【體】也如圖甲乙大球體内容丙 丁戊　　　　　　　　　　【對】己庚辛壬癸　　　　　　　　　　　　　　　　【角】八小球體試自八小球之中心俱各作線聮之則成一 正方體　　　　　　　　　　　【斜】其正方體之一邊即小球徑 以正方體　　　　　　　　　　　　【線】之丙壬　　　　　　　　　　　　　　　　【二】對角斜線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【長】加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘 得甲　　　　　　　　　　【方】乙子醜正方形内甲寅卯辰為小球徑自乘方卯巳子午為正方體對角斜線自乘方寅乙巳卯辰卯午醜為凡正方對角斜線自乘方為每邊自乘方之三倍【尺自乘得見第二十八卷球内容】故卯巳子午正方形為甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一長方共成未乙巳申一長 方甲乙　　　　　　　　　　　【正】球徑即長闊之較故用帶縱 較數開平方法算之得闊即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為正方體之一邊自乘三因之開平 方得正方體對角斜線再加　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【體】一小球 【法】徑即 大球徑也設如有三角形底十四尺中埀線十二尺大腰與小腰之較二尺求両 腰各幾何法借一根為小腰則大腰為一根多二尺以一根自乗得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乗之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以一根多二一平方多四根多四尺為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方多四根少一百四十尺為大分底之面積又以底十四尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方多四根少二百八十四尺餘四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之積為末率也乃以首率大分底之面積一平方多四根少一百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二萬零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五萬七千六百尺此二數為相等両邊各減一三乘方四立方二萬零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根與三萬七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既與三萬七千四百四十尺相等則一平方多二根必與一百九十五尺相等乃以一百九十五尺為長方積以多二根作二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十三尺為一根之數即小腰加二尺得十五尺即大腰也 設如有三角形底十四尺中垂線十二尺大腰與小腰之和二十八尺求大小腰各幾何 法借一根為小腰則二十八尺少一根為大腰以一根自乘得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少五十六根多六百四十尺為大分底之而積又以底四十尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方少五十六根多四百九十六尺餘五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而大分底乗小分底之而積為中率小分底之而積為末率也乃以首率大分底之面積一平方少五十六根多六百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺此二數為相等両邊各減一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺與一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺相等両邊各減四百九十六平方各加八千四百根又各加九萬二千一百六十尺得一萬六千四百六十四根與五百八十八平方多一十一萬四千六百六十尺相等一萬六千四百六十四根既與五百八十八平方多一十一萬四千六百六十尺相等則二十八根必與一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺為長方積以二十八根作二十八尺為長闊和求得闊十三尺為一根之數即小腰也 禦制數理精蘊下編巻三十七