卷三十八

即得所求第一率之假數 如求二之假數則以二為連比例第一率是為單位故傍紀○即第二率之假數首位為○也又以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數仍為單位故傍亦紀○卽第二率之假數首位亦為○也又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數是為進前一位故傍紀一即第四率之假數首位為一也又以第四率之眞數十六自乘得二百五十六為第八率之眞數以第四率之假數一倍之得二是為進前二位故傍紀二即第八率之假數首位為二也又以第八率之眞數二百五十六自乘得六萬五千五百三十六為第十六率之眞數以第八率之假數二倍之得四是為進前四位故傍紀四即第十六率之假數首位為四也又以第十六率之眞數六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六為第三十二率之眞數以第十六率之假數四倍之得八又因第十六率眞數自乘所得首位乃逢十又進一位之數故将假數加倍所得之八又加一得九是為進前九位故傍紀九即第三十二率之假數首位為九也由此遞乘至第一萬六千三百八十四率之眞數則自單位以前共得四千九百三十二位故傍紀四九三二為第一萬六千三百八十四率之假數以一萬六千三百八十四除之得○三○一○即為第一率二之假數葢以一萬除四千為實不足法一倍則其首位必為○也然其位數尚少故僅得五位若再遞乘至第一千三百七十四億四千六百九十五萬三千四百七十二率之眞數則自單位以前共得四百一十三億七千五百六十五萬五千三百零七位即其假數為四一三七五六五五三○七以率數除之得○三○一○二九九九五六六即為第一率二之假數也此法葢因眞數進一位則假數首位加一數今遞乘所得之眞數既得若幹位則其假數首位必加若幹數乃以首位為單位遞進向前者也而連比例各率之假數以率數除之即得第一率之假數故以率數除之所得第一率之假數為首位以後之零數也 明對數之目用遞次開方求假數法之一 凡連比例率之自大而小者以第一率之眞數遞次開方即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次折半即得加倍各率之假數而以各率之假數按率乘之即得第一率之假數 如以二百五十六為連比例第一率其假數為二四○八二三九九六五三以第一率之眞數二百五十六開方得十六為第二率之眞數以第一率之假數二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六為第二率之假數而以第二率之假數用二乘之即得第一率之假數又以第二率之眞數十六開方得四為第四率之眞數以第二率之假數一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三為第四率之假數而以第四率之假數用四乘之即得第一率之假數 明對數之目用遞次開方求假數法之二 凡遞次開方率皆用二倍葢眞數開方假數折半而折半即二歸故遞次折半之假數以遞次加倍之率數乘之即得第一率之假數 如原數為第一率加倍得二為第一次開方之率數【葢折半即二歸以二歸者複用二乘必仍得原數也】又加倍得四為第二次開方之率數【葢折半二次即四歸以四歸者複用四乘必亦得原數也】遞次加倍則第三次之率為八第四次之率為十六第五次之率為三十二第六次之率為六十四第七次之率為一百二十八第八次之率為二百五十六第九次之率為五百一十二第十次之率為一千零二十四第二十次之率為一百零四萬八千五百七十六第三十次之率為十億七千三百七十四萬一千八百二十四第四十次之率為一兆零九百九十五億一千一百六十二萬七千七百七十六第五十次之率為一千一百二十五兆八千九百九十九億零六百八十四萬二千六百二十四凡有眞數求假數皆以所求之數為第一率眞數開方幾次則假數必折半幾次今雖無第一率之假數而苟得其折半第幾次之假數則加倍幾次必得第一率之假數故以加倍第幾次之率數與折半第幾次之假數相乘即得第一率之假數也 明對數之目用遞次開方求假數法之三 凡眞數不可與假數為比例者因眞數開方假數折半其相比之分數不同若開方至于數十次則開方之數即與折半之數相同故假數即可用眞數比例而得是以凡求假數者皆以其眞數開方至幾十次與此所得之假數相比即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得所求之假數如眞數為一十假數為一○以眞數一十開方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次開方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次開方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次開方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次開方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次開方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次開方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此遞次開方至第五十四次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而與第五十三次開方所得折半之數同是故眞數即可與假數為比例矣乃以一十之假數一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此遞次折半亦至第五十四次則得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即為第五十四次開方之假數于是以眞數之零數一二七八一九一四九三二○○三二三五為一率假數之零數五五五一一一五一二三一二五七八二七○為二率眞數之零數一為三率【一率為十七位則三率亦加十六空位以足其分】得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即為一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數前亦仍得十七空位蓋真數為一則假數為○今真數之零數即比一多之較假數之零數即比○多之較故以真數之較與假數之較為比例也凡求假數者皆以真數開方至幾十次首位得一又得十五空位則以其後之零數與此所得之假數為比例即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得第一率之假數也 明對數之目用遞次開方求假數法之四 凡真數首位為一者則開方首位必得一若首位非一者則以真數遞乘幾次使首位得一即以遞乘所得之真數遞次開方至得十五空位乃以其後之零數與前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數相比例即得開方第幾次之假數按前率數乘之即得遞乘所得真數之假數再看遞乘所得真數為連比例第幾率則以第幾率之數除之即得所求之假數 如求二之假數則以二為連比例第一率遞次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此數命為第一率其首位之一千命為單位開方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次開方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次開方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次開方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次開方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次開方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次開方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此遞次開方至第十七次則得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次則得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次則得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率【三率有十七位則一率亦加十六空位以足其分】其假數十七空位後之零數四三四二九四四八一九○三二五一八○四為二率今所得眞數之零數一六八五一六○五七○五三九四九七七為三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即為開方第四十七次之假數前亦仍為十七空位以加倍四十七次之率數一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為第一率一○二四之假數【葢開方第四十七次之假數為十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位】然一○二四首位之一開方雖命為單位而其實則為千位千之假數首位應為三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是為一千零二十四之假數又因一千零二十四為二之連比例第十率故以十歸之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為所求之連比例第一率二之假數也 明對數之目用遞次開方求假數法之五 凡求假數眞數開方之次數愈多則所得之假數愈密然用假數不過至十二位觀前遞次開方表内至九空位以後其開方之數與折半之數已同七位其零數所差甚微故眞數開方至二十七次即可以立率 如求二之假數按前法遞次乘之至第十率得一○二四開方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣于是察前眞數一○遞次開方表内第三十四次數得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦為九空位即以其眞數之零數一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七為一率其假數十一空位後之零數五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五為二率眞數之零數一為三率【一率為二十一位則三率亦加二十空位以足其分】得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即為一○○○○○○○○○一之假數前亦仍為十一空位乃即用此數為比例以眞數之零數一為一率【三率為二十二位則一率亦加二十一空位以足其分】其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五為二率今以一○二四開方二十七次所得之零數一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二為三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即為一○二四開方第二十七次之假數前亦仍為十一空位以加倍二十七次之率數一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即為第一率一○二四之假數與前法所得之數同【前法得三九八収之亦為四○○以後竒零防有不合止截用十二位】再按前法首位加三而以率數十歸之即得○三○一○二九九九五六六四○為二之假數也此法較之前法開方省二十次而所得之數同故求假數者用此法亦便也 明對數之目用遞次開方求假數法之六 凡開方之數與折半之數雖不同然而不同之較遞次漸少故又有相較之法至開方第十次以後則以較數相減即得開方之數 如求六之假數以六為連比例第一率遞次乘之得連比例第九率為一千零七萬七千六百九十六乃以此數命為第一率其首位之一千萬命為單位開方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三