卷三十八

八四六五五一第二次開方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次開方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次開方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次開方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七與第四次開方所得折半之數漸近乃以第四次開方所得數折半【首位之一不折半葢首位之一諸次開方皆同其數不變也】得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七與第五次開方所得數相減餘二九二五五五九八六二九二八九三七五四○為第五次之較設使有第五次之較則将第四次開方所得數折半内減第五次之較即第五次開方所得數然第五次之較乃與第五次開方數相減而得故第五次猶必用開方也第六次開方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次開方所得數折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三與第六次開方所得數相減餘七三一三○一五二○八二二四六五一六九為第六次之第一較又将第五次之較四歸之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五與第六次之第一較相減餘八八四四四九○九七六九二一五為第六次之第二較設使有第二較則将第五次之較四歸之内減第六次之第二較即為第六次之第一較将第五次開方所得數折半内減第六次之第一較即第六次開方所得數然第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第六次開方數相減而得故第六次猶必用開方也第七次開方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次開方所得數折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七與第七次開方所得數相減餘一八二八一四三二五七六一七○三五九二為第七次之第一較又将第六次之第一較四歸之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二與第七次之第一較相減餘一一○五四四四三九一二七○○為第七次之第二較又将第六次之第二較八歸之得一一○五五六一三七二一一五二與第七次之第二較相減餘一一六九八○八四五二為第七次之第三較設使有第三較則将第六次之第二較八歸之内減第七次之第三較即為第七次之第二較将第六次之第一較四歸之内減第七次之第二較即為第七次之第一較将第六次開方所得數折半内減第七次之第一較即第七次開方所得數然第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第七次開方數相減而得故第七次猶必用開方也第八次開方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次開方所得數折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二與第八次開方所得數相減餘四五七○二一九九七○八○四三二○八為第八次之第一較又将第七次之第一較四歸之得四五七○三五八一四四○四二五八九八與第八次之第一較相減餘一三八一七三二三八二六九○為第八次之第二較又将第七次之第二較八歸之得一三八一八○五四八九○八七與第八次之第二較相減餘七三一○六三九七為第八次之第三較又将第七次之第三較十六歸之得七三一一三○二八與第八次之第三較相減餘六六三一為第八次之第四較設使有第四較則将第七次之第三較十六歸之内減第八次之第四較即為第八次之第三較将第七次之第二較八歸之内減第八次之第三較即為第八次之第二較将第七次之第一較四歸之内減第八次之第二較即為第八次之第一較将第七次之開方數折半内減第八次之第一較即第八次開方數然第四較乃與第三較相減而得第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第八次開方數相減而得故第八次猶必用開方也至第九次開方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次開方數折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七與第九次開方數相減餘一一四二五三七七二一五○三一九○九為第九次之第一較又将第八次之第一較四歸之得一一四二五五四九九二七○一○八○二與第九次之第一較相減餘一七二七一一九七八八九三為第九次之第二較又将第八次之第二較八歸之得一七二七一六五四七八三六與第九次之第二較相減餘四五六八九四三為第九次之第三較又将第八次之第三較十六歸之得四五六九一五○與第九次之第三較相減餘二○七為第九次之第四較又将第八次之第四較三十二除之亦得二○七與第九次之第四較同故自第十次以後則不用開方【若間方止用二十二位則第八次之第三較已同至第九次即不用開方亦不用第四較】即以第九次之第四較三十二除之得六為第十次之第四較将第九次之第三較十六除之得二八五五五八内減第十次之第四較餘二八五五五二即為第十次之第三較将第九次之第二較八歸之得二一五八八九九七三六一内減第十次之第三較餘二一五八八七一一八○九即為第十次之第二較将第九次之第一較四歸之得二八五六三四四三○三七五七九七七内減第十次之第二較餘二八五六三二二七一五○四六一六八即為第十次之第一較将第九次開方所得數折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内減第十次之第一較又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即為第十次開方所得數也至第十一次則将第十次之第四較三十二除之不足一倍故無第四較而以第十次之第三較十六除之得一七八四七即為第十一次之第三較将第十次之第三較八歸之得二六九八五八八九七六内減第十一次之第三較餘二六九八五七一一二九即為第十一次之第二較将第十次之第一較四歸之得七一四○八○六七八七六一五四二内減第十一次之第二較餘七一四○七七九八○一九○四一三即為第十一次之第一較将第十次開方所得數折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内減第十一次之第一較又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即為第十一次開方所得數也由此遞推至第二十三次開方數得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率【三率截用十四位則一率亦加十三空位以足其分】其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四為二率【截用十四位以從簡易】今開方二十三次所得之零數九二二六二八八九一○四三○七為三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即為開方第二十三次之假數前則為十空位【二率有十四位而其前為十一空位今四率得十五位故前為十空位】以加倍二十三次之率數八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五【葢開方第二十三次之假數為十五位并前十空位共二十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共為二十五位也此截用十二位】即為第一率一○○七七六九六之假數然首位之一開方雖命為單位其實則為千萬千萬之假數首位應為七故首位為七得七○○三三六一二五三四五是為一千零七萬七千六百九十六之假數又因其為連比例第九率故用九歸之得○七七八一五一二五○三八即為連比例第一率六之假數也 明對數之目用遞次開方求假數法之七 凡求假數先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九數而他數皆由此生然此九十九數内有以兩數相乘除而得者則以兩假數相加減即為所求眞數之假數至五空位以後則又可以比例而得不必逐一而求也 如一至九之九數惟二三七之三數用前遞次開方求假數法求之至于四則系二與二相乘所得之數故以二之假數○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即為四之假數至于五系以二除十所得之數故以二之假數與十之假數相減餘○六九八九七○○○四三四即為五之假數至于六系二與三相乘所得之數故以二之假數與三之假數相加得○七七八一五一二五○三八即為六之假數【或先得六之假數内減二之假數即得三之假數】至于八系二與四相乘所得之數故以二之假數與四之假數相加得○九○三○八九九八六九九即為八之假數至于九系三與三相乘所得之數故以三之假數○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即為九之假數【或先得九之假數折半即得三十假數】如一一至一九之九數惟一一一三一七一九之四數用前遞次開方求假數法求之至于一二系二與六相乘所得之數故以二之假數與六之假數相加得一○七九一八一二四六○四為一十二之假數内減首位之一餘○○七九一八一二四六○四即為一二之假數【葢自一一至九空位零九其首位之一皆為單位首位以下為小餘試将一十二以十除之仍得一二則其首位之一即為單位二為小餘故于十二之假數内減首位之一即減去十之假數而所餘為一二之假數也】至于一四乃二與七相乘所得之數故以二之假數與七之假數相加得一一四六一二八○三五六七為一十四之假數内減首位之一餘○一四六一二八○三五六七即為一四之假數至于一五乃三與五相乘所得之數故以三之假數與五之假數相加得一一七六○九一二五九○六為一十五之假數内減首位之一餘○一七六○九一二五九○六即為一五之假數餘皆仿此【詳見對數闡防】至于一○○○○○一以後之假數則即可用前遞次開方表内相近數比例而得之如求一○○○○○一之假數則以前表内開方第二十一次眞數五空位後之零數一○九七九五八七三五為一率【截用十位以從簡便】其假數七空位後之零數四七六八三七一五八二為二率【亦截用十位】今眞數之零數一為一率【添九空位以足其分】得四率四三四二九四三有餘前亦仍為七空位【因假數止用十二位故四率止求七位并七空位為十四位已為足用】截前十二位得○○○○○○○四三四二九即為一○○○○○一之假數二因之得○○○○○○○八六八五九【第十三位滿五則進一數餘仿此】即為一○○○○○二之假數三因之得○○○○○○一三○二八八即為一○○○○○三之假數又以前表内開方第十九次眞數五空位後之零數四三九一八四二一七三為一率其假數六空位後之零數一九○七三四八六三二為二率今眞數之零數四為三率【添九空位以足其分】得四率一七三七一七四○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即為一○○○○○四之假數【不以前所得四率四因之者因前所得一○○○○○一之假數四因之則防小且表内第十九次開方數與此所求眞數相近故又用比例以求其準】将所得一○○○○○四之假數四歸五因【将一○○○○○四之假數四歸五因者因欲得一○○○○○一之假數而以五因之也】得○○○○○○二一七一四七即為一○○○○○五之假數将所得一○○○○○四之假數四歸六因得○○○○○○二六○五七六即為一○○○○○六之假數又以前表内開方第十八次眞數五空位後之零數八七八三七○三六三四為一率其假數六空位後之零數三八一四六九七二六五為二率今眞數之零數七為三率得四率三○四○○四八○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即為一○○○○