卷三十八
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○七之假數【不以前所得四率四歸七因者因前所得一○○○○○四之假數四歸七因之則防小且表内第十八次開方數與此所求眞數相近故又用比例以求其準】将所得一○○○○○七之假數七歸八因得一○○○○○三四七四三四即為一○○○○○八之假數又将所得一○○○○○七之假數七歸九因得○○○○○○三九○八六三即為一○○○○○九之假數至于一○○○○○○一以後之假數則并不用比例葢五空位零一之假數為四三四二九而前所得十五空位零一之假數亦為四三四二九其假數皆相同但遞退一位故以五空位零一至九之假數從未截去一位【末位滿五以上則進一數】前添一空位即得六空位零一至九之假數以六空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假數以七空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假數以八空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假數
<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊,下編卷三十八
明對數之目用前所得九十九數求他假數法之一
凡求假數既得前九十九數而他數有由此乘除而得者則以假數相加減即得所求之假數其不由乘除而得者謂之數根【因無他數可以度盡即算法原本所謂連比例之至小數】則其假數亦不可以加減而得然有雖為數根而前九十九數中有為其根所生者則逆求之即得原根之假數
如前九十九數首位既皆為單位則以十乘之即為十以百乘之即為百以千乘之即為千以萬乘之即為萬故以二之假數與一十之假數相加即為二十之假數與一百之假數相加即為二百之假數與一千之假數相加即為二千之假數與一萬之假數相加即為二萬之假數又如十一之假數與一十之假數相加即為一百一十之假數以一○五之假數與一百之假數相加即為一百零五之假數與一千之假數相加即為一千零五十之假數眞數同則假數亦同但眞數進一位則假數首位加一數耳又如三與七相乘得二十一則以三之假數與七之假數相加即為二十一之假數二與十一相乘得二十二則以二之假數與十一之假數相加即為二十二之假數至于二十三二十九之類則不以乘除而得是為數根若夫五十三雖亦為數根然以五十三與二相乘則得一百零六前既得一○六之假數則與一百之假數相加即為一百零六之假數内減二之假數即為五十三之假數由此類推數自繁衍而其不可以乘除而得者則又以累乘累除之法而得之【詳見後】要未有出于前九十九數之外者也
明對數之目用前所得九十九數求他假數法之二
凡求假數其眞數有以累乘而得者則以假數累加之即得所求之假數
如二萬零七百零三為二萬與一○三及一○○五累乘所得之數則以二萬之假數四三○一○二九九九五六六與一○三之假數○○一二八三七二二四七一及一○○五之假數○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即為二萬零七百零三之假數若先有假數四三一六○三三二八二一三求眞數則視假數内足減二萬之假數即以二萬之假數書于原假數下相減餘○○一五○○三二八六四七足減一○三之假數即以一○三之假數書于減餘之下相減餘○○○二一六六○六一七六與一○○五之假數恰合是知其假數為二萬與一○三及一○○五之三假數相加所得之數則其眞數即知為三眞數累乘所得之數矣乃以二萬與一○三相乘得二萬零六百再以一○○五乘之得二萬零七百零三即為所求之眞數也
明對數之目用前所得九十九數求他假數法之三
凡求假數而不知其眞數為何數累乘而得者則以所知前位之整數累除之除得累乘之眞數則以其假數累加之即得所求之假數
如求二十三之假數而不知其為何數累乘而得但知二十之假數為一三○一○二九九九五六六則以二十三為實以二十為法除之得一一又以兩層所減數按位相加得二二即二十與一一相乘之數以之為法除原實二十三得一○四又以兩層所減數按位相加得二二八八即二二與一○四相乘之數以之爲法除原實二十三得一○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九四四即二二八八與一○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四與一○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○四又以兩層所減數按位相加得二二九九九九一八八四【法止用十位故第十一位滿五以上者進一數用若不滿五則去之】即二二九九八九九八八八與一○○○○四相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○三又以兩層所減數相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四與一○○○○○三相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四與一○○○○○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四與一○○○○○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○八又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○與一○○○○○○○○八相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三系二十與一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得一三六一七二七八三六○六即為二十三之假數也若先有假數一三六一七二七八三六○六求眞數則視假數内足減二十之假數即以二十之假數書于原假數之下相減餘○○六○六九七八四○四○足減一一之假數即以一一之假數書于減餘之下相減餘○○一九三○五一五五二四足減一○四之假數即以一○四之假數書于減餘之下相減餘○○○二二七一八一五九四足減一○○五之假數即以一○○五之假數書于減餘之下相減餘○○○○一○五七五四一八足減一○○○二之假數即以一○○○二之假數書于減餘之下相減餘○○○○○一八九○三九七足減一○○○○四之假數即以一○○○○四之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○一五三二五四足減一○○○○○三之假數即以一○○○○○三之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○二二九六六足減一○○○○○○五之假數即以一○○○○○○五之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○○一二五一足減一○○○○○○○二之假數即以一○○○○○○○二之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○○○三八二足減一○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○八之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書于減餘之下相減恰盡是知其假數為此十一假數累加所得之數而眞數即為此十一眞數累乘所得之數乃以此十一眞數累乘之得二十三即為所求之眞數也
又如求五千六百八十九之假數而不知其為何數累乘而得但知五千六百之假數為三七四八一八八○二七○○則以五千六百八十九為實以五千六百為法除之得一○一又以兩層所減數按位相加得五六五六即五千六百與一○一相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○五又以兩層所減數按位相加得五六八四二八即五六五六與一○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○八又以兩層所減數按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八與一○○○八相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四與一○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九與一○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六與一○○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七與一○○○○○○○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九系五千六百與一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得三七五五○三五九三三七一即為五千六百八十九之假數也若先有假數三七五五○三五九三三七一求眞數則視假數内足減五千六百之假數即以五千六百之假數書于原假數之下相減餘○○○六八四七九○六七一足減一○一之假數即以一○一之假數書于減餘之下相減餘○○○二五二六五三二九三足減一○○五之假數即以一○○五之假數書于減餘之下相減餘○○○○三六○四七一一七足減一○○○八之假數即以一○○○八之假數書于減餘之下相減餘○○○○○一三一七四四八足減一○○○○三之假數即以一○○○○三之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○一四五八四足減一○○○○○○三之假數即以一○○○○○○三之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○○一五五五足減一○○○○○○○三之假數即以一○○○○○○○三之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○○○二五二足減一○○○○○○○○五之假數即以一○○○○○○○○五之假數書于減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書于減餘之下相減恰盡是知其假數為此九假數累加所得之數而眞數即為此九眞數累乘所得之數乃以此九眞數累乘之得五千六百八十九即為所求之眞數也
求八線對數
凡求八線之假數定半徑為一百億位數既多為用愈密且眞數十一位則假數首位為一○又取其便于用也先以正?餘?之眞數求得假數複以正?餘?之假數加減之即得切線割線之假數如一分之正?為二九○八八八二求其假數得六四六三七二六一一○九又如六十度之正?為八六六○二五四○三八求其假數得九九三七五三○六三一七如求六十度切線之假數則以六十度正?之假數九九三七五三○六三一七為二率半徑之假數一○○○○○○○○○○○為三率六十度餘?之假數九六九八九七○○○四三為一率二三率相加内減一率餘一○二三八五六○六二七四即六十度正切線之假數如求六十度割線之假數則以半徑之假數一○○○○○○○○○○○為二率又為三率六十度餘?之假數九六九八九七○○○四三為一率二率倍之内減一率餘一○三○一○二九九九五七即六十度正割線之假數也
對數用法
設如一百二十三與四百五十六相乘問得幾何法以對數表之一二三之假數二○八九九○五一一一四與四五六之假數二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假數四七四八八六九九五四一所對之眞數得五六○八八即五萬六千零八十八為相乘所得之數也
