卷三十八
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設如三千四百五十六與二千六百七十九相乘問得幾何
法以對數表之三四五六之假數三五三八五七三七三三八與二六七九之假數三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因對數表假數首位止于四眞數止于五位故将相加所得假數首位之六暫當四查假數四九六六五四六四四七四相近畧少者為四九六六五四五三二一六其相對之眞數得九二五八六即為九二五八六○○【因假數首位多二數則眞數必多二位】又以九二五八六○○之假數與九二五八七○○之假數相減餘四六九○七為一率以九二五八六○○與九二五八七○○相減餘一○○為二率今相加所得之假數與九二五八六○○之假數相減餘一一二五八為三率得四率二四即眞數九二五八六之後二位之數葢假數多四六九○七則眞數多一百今假數多一一二五八則眞數應多二十四為比例四率也乃以所得二四與九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五萬八千六百二十四為相乘所得之數也大凡眞數二四位以後其假數之較相差無多故眞數即可與假數為比例若用前累乘累除之法固為甚密然較之比例則難而得數則同此對數表所以止于五位也
設如三千七百四十四以十六除之問得幾何法以對數表之三七四四之假數三五七三三三五八四○一内減一六之假數一二○四一一九九八二七餘二三六九二一五八五七四乃查假數二三六九二一五八五七四所對之眞數得三三四即二百三十四為歸除所得之數也
設有米三十二石令一千零二十四人分之問毎一人應得幾何
法以對數表之三二之假數首位加二為三五○五一四九九七八三【因法之假數大于實之假數故以實之假數加二即如以實之眞數加兩空位也】内減一○二四之假數三○一○二九九九五六六餘○四九四八五○○二一七因假數首位為○卽知眞數應得單位其得數首位為升仍以假數首位加三查三四九四八五○○二一七所對之眞數得三一七五【因眞數得四位故将假數首位作三查表若眞數求五位則将假數首位作四查表或五位後仍有餘數則用比例求之】即三升一合二勺五撮為毎人所應得之數也
設如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙邊十二丈求丙乙邊丙甲邊各幾何
法以甲角五十度之正?假數九八八四二五三九六六五與甲乙邊十二丈【作一二○○○】之假數四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内減丙角四十度之正?假數九八○八○六七四九六七餘四一五五三六七七一五八為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一四三○一即一十四丈三尺零一分為丙乙邊也求丙甲邊則以乙角九十度之正?假數一○○○○○○○○○○○【即半徑之數】與甲乙邊十二丈之假數四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内減丙角四十度之正?假數九八○八○六七四九六七餘四二七一一一三七四九三為丙甲邊之假數查假數相近所對之眞數得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分為丙甲邊也
設如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙邊十六丈甲丙邊十二丈問丙角乙角及乙丙邊各若幹法以甲乙邊十六丈與甲丙邊十二丈相加得二十八丈為邊總甲乙邊與甲丙邊相減餘四丈為邊較甲角五十度與一百八十度相減餘一百三十度折半為六十五度為半外角乃以邊較四丈【作四○○○】之假數三六○二○五九九九一三與半外角六十五度之正切假數一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内減邊總二十八丈【作二八○○○】之假數四四四七一五八○三一三餘九四八六二二九四一二二爲半較角正切之假數查正切假數相近所對之眞數得十七度二分為半較角與半外角相加得八十二度二分為對甲乙大邊之丙角與半外角六十五度相減餘四十七度五十八分為對甲丙小邊之乙角也又求丙乙邊則以五十度之正?假數九八八四二五三九六六五與十六丈【作一六○○○】之假數四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内減丙角八十二度二分之正?假數九九九五七八八二○九八餘四○九二五八五七三九四為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分為丙乙邊也凡眞數用加減然後比例者須以眞數加減得數再查假數依法算之餘皆仿此
設如六十四自乘問得幾何
法以對數表之六四之假數一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假數所對之眞數得四○九六即四千零九十六為自乘所得之數也葢自乘兩數相同則其兩假數亦相同故二因之即如二假數相加也
設如正方面積三百六十一尺開平方問毎一邊數幾何
法以對數表之三六一之假數二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假數所對之眞數得一九即一十九尺為開平方所得毎邊之數也葢正方面積之假數乃以毎邊之假數加倍所得之數故折半即得毎邊之假數對其眞數即得毎邊之數也
設如正方面積一百五十二萬二千七百五十六尺開平方問毎一邊數幾何
法先以方積前五位一五二二七查得假數為四一八二六一四三四七七因方積系七位今止查得五位仍餘二位故将假數首位之四加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數又以一五二二七○○與一五二二八○○相減餘一○○為一率以一五二二七○○之假數與一五二二八○○之假數相減餘二八五二○四為二率方積之後二位數五六為三率得四率一五九七○四葢眞數多一百則假數多二八五二○四今眞數多五十六則假數應多一五九七一四為比例四率也乃以所得四率與一五二二七○○之假數相加得六一八二六三○三一九一即為一五二二七五六之假數折半得三○九一三一五一五九六仍查假數所對之眞數得一二三四即一千二百三十四尺為開平方所得毎邊之數也
又防法以一五二二七之假數首位加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數折半得三○九一三○七一七三八查假數相近畧大者【葢一五二二七○○之假數畧少于一五二二七五六之假數則其折半之假數亦必畧少于一二三四之假數亦取畧大者用之】對其眞數得一二三四即為毎邊之數也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方積前五位查表後有幾位則假數首位加幾數折半查假數相近者即可得之若方根過五位以上者須用比例則以方積查假數亦須用比例方得密合
設如正方面積一百五十二兆四千一百五十七億六千五百二十七萬九千三百八十四尺問毎一邊數幾何
法以方積前五位一五二四一查得假數為四一八三○一三四六三一因方積系十五位今止查得五位仍餘十位故将假數首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即為一五二四一○○○○○○○○○○之假數又以一五二四一○○○○○○○○○○與一五二四二○○○○○○○○○○相減截用六空位得一○○○○○○為一率以一五二四一之假數與一五二四二之假數相減餘二八四九四二為二率方積後十位數截用前六位得五七六五二七為三率【因表中假數止于十一位則眞數亦止須用十一位雖眞數後再多幾位其假數前十一位亦相同故查表用五位比例用六位共為十一位】得四率一六四二七七與一五二四一○○○○○○○○○○之假數相加得一四一八三○二九八九○八即為一五二四一五七六五二七○○○○之假數亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假數折半得七○九一五一四九四五四因假數首位為七即知眞數應得八位今對數表假數首位止于四眞數止于五位故将折半所得假數首位之七減去三得四○九一五一四九四五四查假數相近畧少者為四○九一四九一○九四三對其眞數得一二三四五即為一二三四五○○○【因假數首位多三數則眞數進三位】又以一二三四五○○○之假數與一二三四六○○○之假數相減餘三五一七八三為一率以一二三四五○○○與一二三四六○○○相減餘一○○○為二率今折半所餘之假數與一二三四五○○○之假數相減餘二三八五一一為三率得四率六七八與一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四萬五千六百七十八尺為開平方所得毎一邊之數也
設如勾二十七尺股三十六尺求?若幹
法以對數表之二七之假數一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四為勾自乘之假數仍查假數所對之眞數得七二九為勾自乘之眞數又以三六之假數一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六為股自乘之假數仍查假數所對之眞數得一二九六為股自乘之眞數兩自乘之眞數相加【不以兩自乘之假數相加者葢假數相加則是相乘故必對其眞數然後相加也】得二○二五為?自乘之眞數查其假數得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假數所對之眞數得四五即四十五尺為開方所得之?數也
設如三十六自乘再乘問得幾何
法以對數表之三六之假數一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假數所對之眞數得四六六五六即四萬六千六百五十六為自乘再乘所得之數也葢自乘再乘系以方根乘二次則假數亦加二次故以方根之假數三因之即如以方根之假數加二次也其或位數多者依乘法之例推之
設如正方體積一萬三千八百二十四尺開立方問毎一邊數幾何
法以對數表之一三八二四之假數四一四○六三三七二五一用三歸之得一三八○二一一二四一七仍查假數所對之眞數得二四即二十四尺為開立方所得每邊之數也葢正方體積之假數乃以毎邊之假數三因所得之數故三歸之即得每邊之假數對其眞數即得毎邊之數也其或位數多者依平方之例推之
設如方根一十六尺問三乘方積幾何
法以對數表之一六之假數一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假數所對之眞數得六五五三六即六萬五千五百三十六尺為三乘方之積數也葢三乘方系以方根乘三次則其假數亦加三次故以方根之假數四因之即如以方根之假數加三次也其或位數多者亦依乘法之例推之
設如三乘方積二萬零七百三十六尺問方根幾何法以對數表之二○七三六之假數四三一六七二四九八四二用四歸之得一○七九一八一二四六○仍查假數所對之眞數得一二即一十二尺為開三乘方所得方根之數也葢三乘方積之假數乃以方根之假數四因所得之數故四歸之即得方根之假數對其眞數即得方根之數也其或位數多者亦依平方之例推之大凡開諸乘方之理亦皆由于連比例葢方根為連比例第一率平方積為第二率立方積為第三率三乘方積為第四率四乘方積為第五率五乘方積為第六率六乘方積為第七率七乘方積為第八率八乘方積為第九率九乘方積為第十率【與借根方比例定位表同】以第一率方根之假數各以率數乘之即得各乘方積之假數而以各乘方積之假數各以率數除之亦即得第一率方根之假數故由三乘方而進之四乘方求積則用五因求根則用五歸五乘方求積則用六因求根則用六歸推之至于九乘方求積則用十因求根則用十歸即至于一百乘方則以方根之假數用一百零一乘之即得方積之假數以方積之假數用一百零一除之即得方根之假數乘除之數愈繁愈見對數之易此對數之大用也
禦制數理精蘊下編卷三十八
