卷三十六
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千七百二十九為一根之數卽相連比例之第二率也以二率自乘一率除之得一萬二千零六十一為相連比例之第三率又以二率與三率相乘一率除之得四千一百八十七為相連比例之第四率乃以一率與四率相加得一十萬零四千一百八十七與二率之三倍相等也【此卽求圜内容十八邊法】
設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何
法借一根為二率以二率一根自乘得一平方以一率十萬除之得十萬分平方之一為三率以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一以一率十萬除之得一百億分立方之一為四率将四率俱以百億乘之則一率為一千兆二率為一百億根三率為一十萬平方四率為一立方乃以一率與四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百億根加一三率得二百億根多十萬平方是為二百億根多十萬平方與一千兆多一立方相等兩邊各減去一立方得二百億根多十萬平方少一立方與一千兆相等乃以一千兆為實以二百億根為法用割圜内益實兼減實歸除法算之得四萬四千五百零四為一根之數卽相連比例之第二率也以二率自乘一率除之得一萬九千八百零六為相連比例之第三率又以二率與三率相乘一率除之得八千八百一十四為相連比例之第四率乃以一率與四率相加得一十萬零八千八百一十四與二率兩倍加一三率之數相等也【此卽求圜内容十四邊法】
設如有大小二正方面大方毎邊為小方毎邊之二倍若以兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺問二方邊面積各幾何
法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊數為二根以一根自乘得一平方為小方之面積以二根自乘得四平方為大方之面積以一平方與四平方相乘得四三乘方為兩方面積相乘之數與五萬八千五百六十四尺相等四三乘方旣與五萬八千五百六十四尺相等則一三乘方必與一萬四千六百四十一尺相等乃以一萬四千六百四十一尺為三乘方積用開三乘方法算之得十一尺為一根之數卽小方每邊之數倍之得二十二尺卽大方每邊之數以十一尺自乘得一百二十一尺卽小方之面積以二十二尺自乘得四百八十四尺卽大方之面積兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺以合原數也【此開三乘方法】
設如有解錢糧船不言數但知每船所載銀鞘之數比船數加一倍每鞘内銀數與共鞘數等其共銀數為五百三十四萬五千三百四十四兩問船數鞘數各若幹
法借一根為船數則每船所載鞘數為二根以一根與二根相乘得二平方為共鞘數亦為每鞘内銀數自乘得四三乘方與五百三十四萬五千三百四十四兩相等四三乘方旣與五百三十四萬五千三百四十四兩相等則一三乘方必與一百三十三萬六千三百三十六兩相等乃以一百三十三萬六千三百三十六兩為三乘方積用開三乘方法算之得三十四為一根之數卽船數倍之得六十八卽每船之鞘數以船數三十四與每船所載鞘數六十八相乘得二千三百一十二為共鞘數亦卽每鞘内之銀數自乘得五百三十四萬五千三百四十四兩以合原數也【此開三乘方法】
設如有一正方又有一長方二方面積共二十三萬六千一百九十六尺長方之長比正方面積多二十四尺長方之闊比正方面積少二十尺問二方邊面積各幾何
法借一根為正方每邊之數自乘得一平方為正方之面積則長方之長為一平方多二十四尺長方之闊為一平方少二十尺長闊相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺為長方面積加正方面積之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺為二方之共面積與二十三萬六千一百九十六尺相等兩邊各加四百八十尺得一三乘方多五平方與二十三萬六千六百七十六尺相等乃以二十三萬六千六百七十六尺為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方法算之得二十二為一根之數卽正方每邊之數自乘得四百八十四尺為正方面積加二十四尺得五百零八尺為長方之長減二十尺得四百六十四尺為長方之闊長闊相乘得二十三萬五千七百一十二尺為長方面積兩面積相加得二十三萬六千一百九十六尺以合原數也【此帶縱開三乘方法】
設如有一長方其面積五百二十七丈又有大小二正方其面積共一千二百五十丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長方之闊等問長方之長闊各幾何
法借一根為大方每邊之數自乘得一平方為大方之面積則小方之面積為一千二百五十丈少一平方此大方面積與長方面積及小方面積為相連比例三率乃以首率大方面積一平方與末率小方面積一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以長方面積五百二十七丈為中率自乘得二十七萬七千七百二十九丈此兩數為相等乃以二十七萬七千七百二十九丈為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方法算之得三十一為一根之數卽大方每邊之數亦卽長方之長以長三十一丈除長方面積五百二十七丈得十七丈卽長方之闊亦卽小正方每邊之數乃以三十一丈自乗得九百六十一丈為大方面積以十七丈自乘得二百八十九丈為小方面積兩面積相加得一千二百五十丈以合原數也【此帶縱開三乘方法】
設如有一方台俱系正方石砌成其用石之塊數與每一石之面積等其共石之體積為五十三萬七千八百二十四寸問用石之塊數及每一石之邊數若幹
法借一根為每一石之邊數自乘得一平方為每一石之面積亦卽所用石之塊數再乘得一立方為每一石之體積與所用石之塊數一平方相乘得一四乘方為共石之體積與五十三萬七千八百二十四寸相等乃以五十三萬七千八百二十四寸為四乘方積用開四乘方法算之得一十四寸為一根之數卽每一石之邊數自乘得一百九十六寸為每一石之面積亦卽所用石之塊數再乘得二千七百四十四寸為每一石之體積與所用石之塊數相乘得五十三萬七千八百二十四寸以合原數也【此開四乘方法】
設如有二十四正方體又有一扁方體共積八百二十九萬四千四百寸扁方體之髙與正方體之邊數等扁方體之長與闊俱與正方體之面積等問正方體扁方體之邊數各若幹
法借一根為正方體每邊之數亦卽扁方體之髙數以一根自乘得一平方為正方體之面積亦卽扁方體之長與闊再乘得一立方為正方體之積以二十四乘之得二十四立方為二十四正方體之共積又以扁方體之長闊一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方為扁方體之積兩積數相加得一四乘方多二十四立方與共體積八百二十九萬四千四百寸相等乃以八百二十九萬四千四百寸為帶縱四乘方積用帶縱開四乘方法算之得二十四寸為一根之數卽正方體之每邊亦卽扁方體之髙自乘得五百七十六寸為正方體之面積亦卽扁方體之長與闊再乘得一萬三千八百二十四寸為一正方體之積以二十四乘之得三十三萬一千七百七十六寸為二十四正方體之共積又以扁方體之長闊五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六萬二千六百二十四寸為一扁方體積兩積相加得八百二十九萬四千四百寸以合原數也【此帶縱開四乘方法】
設如有商人貿易第一次之銀數比原本銀加一倍第二次之銀數與第一次銀自乘再乘之數等第三次之銀數與第一次銀自乘又乘第二次銀之數等将第三次之銀數與第二次之銀數相加得三萬三千二百八十兩問原本銀數及每次銀數各若幹
法借一根為原本銀數則第一次之銀數為二根自乘再乘得八立方為第二次之銀數以第一次自乘之四平方與第二次之八立方相乘得三十二四乘方為第三次之銀數與第二次之銀數八立方相加得三十二四乘方多八立方與三萬三千二百八十兩相等三十二四乘方多八立方旣與三萬三千二百八十兩相等則一四乘方多四分立方之一必與一千零四十兩相等乃以一千零四十兩為帶縱四乘方積用
