卷三十二

之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡是開得七百零九尺爲七乘方每一根之數也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除餘積得次商以初商乘五次與次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘兩數相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘兩數相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次兩數相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次兩數相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次與初商相乘八因之爲八長廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘七次即得應減之積也 又法用開平方法三次開之初以原積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開平方得二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺次以二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺複開平方得五十萬二千六百八十一尺又以五十萬二千六百八十一尺複開平方得七百零九尺即七乘方每一根之數也 又用表開法列積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算隔七位作記定位同前乃截方根第二位以前積六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之積于表中取比此數相近略小之數爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之數】其所對初商根爲七次商根爲○即将七○書于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○書于初商次商積之下相減餘六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除餘積六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九書于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡即定七乘方根爲七百零九尺也 八乘方 設如有八乘方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開八乘方問每一根之數幾何 法列方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算每方積九位定方根一位故隔八位作記乃于二尺上定單位四十億尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商積與四百乘八次之數相準即定初商爲四百尺書于方積五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺書于初商積之下相減餘一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位積八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺續書于後共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺爲次商廉隅之共積而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書于方積四十億尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十億尺與原積相減餘一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十億尺爰以方根第三位積九億五千二百八十二萬七千二百九十二尺續書于後共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六億尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書于方積二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰盡是開得四百二十二尺爲八乘方每一根之數也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除餘積得次商以初商乘六次與次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘兩數相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次兩數相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次兩數相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次與初商相乘九因之爲九長廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘八次即得應減之積也又法用開立方法兩次開之初以原積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開立方得七千五百一十五萬一千四百四十八尺次以七千五百一十五萬一千四百四十八尺複開立方得四百二十二尺即八乘方每一根之數也 又用表開法列積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算隔八位作記定位同前乃截方根第二位以前積四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之積于表中取比此數相近畧小之數爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之數】其所對初商根爲四次商根爲二即将四二書于初商次商之位而以四○六六