卷二十九
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欽定四庫全書
禦制數理精蘊下編卷二十九
體部七
各等面體互容
更體形
各等面體互容
設如正方體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何
法以正方體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開平方得一尺六寸九分七厘零五絲六忽二微有餘即正方體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容丁甲戊己四面體以四面體之六棱切于正方體之六面則四面體之每一邊即為正方體之每一面之對角斜線故用方邊求斜?之法以一邊自乗倍之開平方即得内容四面體之每一邊也如有四面體之一邊求外切正方體之一邊則用斜?求方邊法以四面體之一邊自乗折半開平方即得外切正方體之每一邊也
設如正方體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何
法以正方體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八厘五豪二絲八忽一微有餘即正方體内容八面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸八面體以八面體之六角切于正方體之六面則正方體之每一邊即與内容八面體之對角斜線等【甲乙與戊庚等】故用斜?求方邊之法以一邊自乗折半開平方即得内容八面體之每一邊也如有八面體之一邊求外切正方體之一邊則用方邊求斜?法以八面體之一邊自乗加倍開平方即得外切正方體之每一邊也
設如正方體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何
法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之正方體每邊一尺二寸為三率求得四率四寸五分八厘三豪五絲九忽二微有餘即正方體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸十二面體以十二面體之六棱切于正方體之六面則方正體之每邊與十二面體之兩邊相對之線等【即十二面體中心至每邊正中之斜線之倍】而正方體之每邊之半即為十二面體中心至每邊正中之斜線試将十二面體之正中截之則成十等邊之面形而其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之子醜等線亦為戊己兩角相對斜線之一半而為十等邊形之一邊其子寅外切圜之半徑為中心至每邊正中之斜線即正方體每邊之一半子寅即如理分中末線之全分子醜即如理分中末線之大分而戊子每邊之半即如理分中末線之小分【見球内容十二面體法】故全分與小分之比同于今所設之正方體每邊之半與内容十二面體每邊之半之比即同于今所設之正方體之一邊與内容十二面體之一邊之比也如有十二面體之一邊求外切正方體之一邊則以十二面體之一邊為理分中末線之小分比例得全分即外切正方體之每一邊也
設如正方體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何
法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之正方體每邊一尺二寸為三率求得四率七寸四分一厘六豪四絲零七微有餘即正方體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸二十面體以二十面體之六棱切于正方體之六面則正方體之每邊與二十面體之兩邊相對之線等即二十面體戊庚兩角相對之斜線試自二十面體之戊庚二角類對角平截之則所截之面成戊己庚子醜五等邊之面形戊庚兩角相對斜線即如理分中末線之全分庚子【與己庚等】一邊即如理分中末線之大分【見球内容二十面體法】故全分與大分之比即同于今所設之正方體之毎一邊與内容二十面體之每一邊之比也如有二十面體之一邊求外切正方體之一邊則以二十面體之一邊為理分中末線之大分比例得全分即外切正方體之每一邊也
設如四面體毎邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何
法以四面體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九厘七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線折半得四寸八分九厘八豪九絲七忽九微有餘為四面體内容圓【之】
球全徑乃用 【一】求球内容正方體之每一邊法以球徑自乗三歸開平方得二寸八分二厘八豪四絲二忽七微有餘即四面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬正方體以正方體之丁己辛癸四角切于四面體各面之中心則四面體中心至每一面中心之立垂線即正方體中
心至角之斜線四面體内 【邊】容圓球徑
即正方體 【也】外切圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球内容正方體之一邊即四面體内容正方體又法以四面體每邊一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八歸除之得八寸開平方得二寸八分二厘八豪四絲二忽七微有餘即四面體内容正方體之每一邊也此法與前法同蓋四面體之自尖至底中心之立垂線自乗方為每邊自乗方之三分之二【之每一即六】内容圓球徑為立垂線之一半【分之四見球外切四】則内
容圓 【面】球徑自乗方為立垂線自乗方之四分之一即為毎邊自乗方之六分
之一而 【體】圓球内容正方體之每邊自
乗方又 【法】為圓球徑自乗方之三分之一故内容正方體之每邊自乗方為四面體之每邊自乗方之十八分之一也如有正方體之一邊求外切四面體之一邊則以正方體之毎邊自乗以十八乗之開平方即得外切四面體之每
一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容八面體邊幾何
法以四面體每邊一尺二寸折半得六寸即四面體内容八面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬八面體以八面體之四面切于四面體之各面以八面體之六角切于四面體之六棱其各角皆當各棱之一半故内容八面體之毎邊亦為四面體每邊之一半也如有八面體之一邊求外切四面體之一邊
