卷二十八

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷二十八 體部六 【面】球内容各等面 【體】體球外切各等 【庚】球内容各等面 體設如　　　　　　【俱】圓球徑一尺二寸求内容四面體之每一邊及體積 幾何法　　　　　　　　　　　【為】以圓球徑一尺二寸三歸二 因得八　　　　　　　　　　　【自】寸為圓球内容四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得六十四寸二歸三因得九十六寸開平方得九寸七分九厘七豪九絲五忽八防有餘即圓球内容四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積四十一寸五十六分九十二厘一十九豪有餘與自尖至每面中心之立垂線八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十厘有餘三歸之得一百一十寸八百五十 一分二百五十厘　　　　　　　　　　　　　　　【尖】有餘即圓球内容四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊四面體甲己與丙至每面中心之立垂線相交于辛為四 面體之中心亦即圓　　　　　　　　　　　　　　　　【故】球之中心甲辛與丙辛俱為圓球半徑甲己壬勾股形與甲庚辛勾股形為同式【以甲乙圓甲己壬勾股形以甲己自尖至底中心立垂線為股己壬一面中垂線之三分之一為勾甲壬一面中垂線為?甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂線之三分之二為股庚辛四面體中心至每面中心之垂線為勾甲辛四面體自尖至中心立垂線為?故兩勾股形同用一甲角而己角庚角同為直角其壬角與辛角亦必相等所以為】形己壬為丙壬一面中垂線之三分之一亦為甲壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為甲辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而甲辛即【同】 圓球之半徑故庚辛亦　　　　　　　　　　　　　　　　　【式】為圓球半徑 之三分之一庚辛與辛已等今命　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】甲 辛圓球半徑為三分　　　　　　　　　　　　　　　　【也】則甲乙圓球全徑為六分以辛己一分與甲辛三分相加則得甲巳四分是甲巳立垂線為甲乙圓球全徑之六分之四即三分之二 【六】球徑三歸二因即得甲己為四面體 自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每邊自乘方之三分之【分之見前四面體求】二故以甲己立垂線自乘二歸三因即得每一邊自乘方積開平方得甲丙為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁戊三角形面積與甲巳立垂線相乘三歸之即得甲丙丁戊四面體之積 也又求邊捷法以　　　　　　　　　　　　　　　【積】圓球徑一尺二寸自乘三歸二因得九十六寸開平方亦得九寸七分九厘七豪九絲五忽八防有餘為内容四面體之每一邊也蓋四 面體之甲巳立垂線既為甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】乙圓球徑之三分之二則甲己自乘方必為甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又為甲丙每邊自乘方之三分之二即四則甲丙每一邊自乘方必為甲乙圓 【○】球徑自乘方之九分之六即三分之 二故以圓球徑自乘三歸二因開平方亦得四面體之每一邊也如有四面體 之一邊求外切　　　　　　　　　　　　　　【○】圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線二歸三因【○】即圓球徑或以一邊自乘二歸三因開平方亦即得圓 球徑也　　　　　　　　　　　【○】又用求球内各形之一邊之 定率比例以　　　　　　　　　　　　　【○】定率之圓球徑一○○ ○○○○○　　　　　　　　　　　　　【為】○為一率圓球内容四面體之一邊八一六四九六五八為二 【一】率今所設之圓球徑一尺二寸為三 率求得四率九寸七分九厘七豪九絲 五　　　　　　　　　【率】忽八防有餘即圓球内 容四面　　　　　　　　　　　【圓】體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○ 【尺】球内容四面體積六四一五○○二 九為二率今所設之　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率一百一十寸八百五十 一分二百五十厘有餘　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】即圓球内容四面體 之積也　　　　　　　　　　　【自】又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○ ○　　　　　　　　　【乘】為一率圓球内容四面體積一二 二五一七五三○為二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【得】今所設之 圓球徑一　　　　　　　　　　　　【一】尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有餘為三率求得四率一百一十寸八 百五十一分二百四　　　　　　　　　　　　　　　　【百】十九厘有餘即圓球 内容四　　　　　　【四】面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容正方體 之每一邊及體積幾何法以圓球徑一十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二厘八豪二絲零三防有餘即圓球内容正方體之每一邊以一邊自乘再乘得三百三十二寸五百五十 三分七百四十四厘有餘即圓　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【積】球内 容正方體之積也如圖甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】圓球徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方體試以丙丁一邊為股丁乙一邊為勾求得丙乙?即每一面之對角斜線勾與股既相等則丙乙每一面對角斜線自乘方為丙丁或丁乙每邊自乘方之二倍矣又試以丙乙對角斜線為股甲 丙一邊為勾求得甲乙?　　　　　　　　　　　　　　　　　　【如】即圓球徑 則　　　　　　　　　【有】甲乙圓球徑自乘方又為甲丙類 每邊自乘方之三倍　　　　　　　　　　　　　　　　【正】矣故以圓球徑 自乘三歸即得每邊自乘之積開　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】平方即得圓球内容正方體之一邊以一邊自乘再乘即得圓球内容正方體之 體之一邊求外切圓　　　　　　　　　　　　　　　　【圓】球徑則以一邊 自乘三因之開平方即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率 比例以定率　　　　　　　　　　　　　【内】之圓球徑一○○○○ ○○○○為　　　　　　　　　　　　　【容】一率圓球内容正方體之一邊五七七三五○二六為二率今 【正】所設之圓球徑一尺二寸為三率求 得四率六寸九分二厘八豪二絲零三 【方】防有餘即圓球内容正 方體之　　　　　　　　　　　【體】一邊也又用求球内各形之 體積之定率　　　　　　　　　　　　　【之】比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○ 【積】○○○○為一率圓球内容正方體 積一九二四五○○八　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有餘即 又用圓　　　　　　　　　　　【八】球積之定率比例以定率之 【寸】圓球積一○○○○○○○○○為 一率圓球内容正方體積三六七五五 二五九○為二率今所設　　　　　　　　　　　　　　　　　　【即】之圓球徑 一尺二寸　　　　　　　　　　　　【圓】求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有餘為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有餘即圓球内容正方 體之積　　　　　　【球】也設如圓球徑一尺二寸求内容八面體之每一邊 及體積　　　　　　　　　　　【内】幾何法以圓球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八厘五豪二絲 八忽　　　　　　　　　　【容】一防有餘即圓球内容八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊自乘得七十二寸以球徑一尺二寸再乘得八百六十四寸三歸之得二百八十 八面體之積也如圖甲乙圓