卷二十八

○○為 一　　　　　　　　　【二】率圓球内容十二面體積六六四 九○八八九一為二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】設之圓 球徑一尺二　　　　　　　　　　　　　【為】寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有餘為三率求得四率六百零一寸五百 九十五分三百九十一　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】厘有餘即圓球内容十 二面體　　　　　　【率】之積也設如圓球徑一尺二寸求内容二十面體之每 一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股大分六一八○三三九九為勾求得?一一七五五七○五○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑求得四率六寸三分零八豪七絲七忽 三防有餘即圓　　　　　　　　　　　　　　【徑】球内容二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積一十七寸二十三分四十一厘七十豪有餘又用三等邊形求外切圜徑法求得半【一即分角】徑三寸六分四厘二豪三絲七忽一防有餘為勾圓球半徑六寸為?求得股四寸七分六厘七豪九絲二 忽七防有餘為自　　　　　　　　　　　　　　　【線】圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積一十七寸二十三分四十一厘七十豪有餘相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有餘三歸之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有餘為一三角尖體積二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有餘即圓球内容二十面體之總積也如圖甲乙圓球尺二寸内容甲丙丁戊己二十面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙每邊之一半而為十等邊形之一邊試自二十面體之甲癸一邊正中至中心壬作庚壬垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲壬圓球半徑共成甲庚壬勾股形庚壬為股甲庚為勾甲壬為?庚壬即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之大分何以知之蓋庚壬中心至每邊正中之斜線既為十等邊形外切圜之半徑庚辛既為十等邊形之一邊則庚辛為大分庚壬必為全分庚辛為每邊之半甲庚亦為每邊之半則甲庚亦即為大分矣因庚壬全分為股甲庚大分為勾甲壬圓球半徑為?故以理分中末線之全分為股大分為勾求得?與大分之比同于甲壬半徑與甲庚半邊之比即同于今所設之甲乙圓球全徑與甲癸全邊之比 也又圖子醜圓　　　　　　　　　　　　　　【得】球内容子丙寅醜卯已二十面體自丙已二處橫截之則所截之面成圓内容甲丙丁戊己五等邊面形試自二十面體之巳角至寅角作已寅全徑線則成巳丙寅勾股形巳丙為股丙寅為勾已寅為?以甲丙丁戊己五等邊面形言之則巳丙股為兩角相對斜線即如理分中末線之全分丙寅勾與丙丁一邊同即如理分中末線之大分今己丙全分既為股丙寅大分 既為勾巳寅與子醜同為　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】圓球徑既為?故以理分中末線之全分為股大分為勾求得?與大分之比即同于今所設之子醜全徑與丙寅一邊之比也既得一邊則用三等邊形求面積法求已午三等邊形面積又求得未巳三等邊形外切圜半徑即分角線乃以壬巳圓球半徑【二十面體】為?未巳分角線為勾 求得壬未股即圓　　　　　　　　　　　　　　　【之】球中心至内容二十面體每面中心之立垂線與辰巳午三等邊形面積相乘三歸之得壬辰巳 午一三角尖體積二十因之即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圓球内容二十面體之積也如有二十面 體之一邊求外　　　　　　　　　　　　　　【邊】切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊 為勾求得?倍　　　　　　　　　　　　　　【也】之即圓 球全徑　　　　　　　　　　　【與】也又用求球内各形之一邊 之定率比例　　　　　　　　　　　　　【甲】以定率之圓球徑一○ ○○○○○　　　　　　　　　　　　　【壬】○○為一率圓球内容二十面體之一邊五二五七三一一一 為　　　　　　　　　【等】二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三防有餘即圓球内容 又用求　　　　　　　　　　　【内】球内各形之體積之定率比 例以定率之　　　　　　　　　　　　　【容】圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一 【二】率圓球内容二十面體積三一七○ 一八八三三為二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有餘即圓球内容二十面 體之積　　　　　　　　　　　【面】也又用圓球積之定率比例 【體】以定率之圓球積一○○○○○○ ○　　　　　　　　　【之】○○為一率圓球内容二十面體 積六○五四六一三七二為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【積】二率今 所設之圓球　　　　　　　　　　　　　【也】徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有餘為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有餘即圓球 【至】球外切各等面 體設如　　　　　　【每】圓球徑一尺二寸求外切四面體之每一邊及體積 幾何法　　　　　　　　　　　【面】以圓球徑一尺二寸倍之得 二尺四　　　　　　　　　　　【中】寸為圓球外切四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得五尺七十六寸二歸三因得八尺六十四寸開平方得二尺九寸三分九厘三豪八絲 七忽六防　　　　　　　　　　　　【心】有餘即圓球外切四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積三尺七十四寸一十二分二十九厘七十二豪有餘與自尖至每面中心之立垂線二尺四寸相乘三歸之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十 六　　　　　　　　　【之】厘有餘即圓球外切四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己四面體丙乙與丁庚俱為自尖立垂線相交于辛為四面體之中心亦 即圓　　　　　　　　　　【自】球之中心辛乙與辛庚俱為【乘】圓球半徑丙乙壬勾股形與丙庚辛勾股形為同【二歸丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂線為股乙壬一面中垂線之三分之一為勾丙壬一面中垂線為?丙庚辛勾股形以丙庚一面中垂線之三分之二為股庚辛圓球半徑為勾丙辛四面體自尖至中心立垂線為?故兩勾股形同用一丙角而乙角庚角同為直角其壬角與辛角亦必相等所以為同】式形乙壬為丁壬一面中垂線之三分之一亦為丙壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為丙辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一 而庚辛　　　　　　　　　　　【式】為圓球半徑與甲辛等甲辛既為丙辛之三分之一則丙甲即為丙辛之三分之二與甲乙全徑等故以【形】甲乙圓球徑倍之得丙乙為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每一邊自乘方之【見前四面體求積法】三分之二故以丙乙立垂線三因得每一邊自乘方積開平方得丙丁為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丁戊己三角形面積與丙乙立垂線相乘三歸之即得丙丁戊己四面體之積也如有 四面體之一邊求内容圓　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線折半即内容圓球徑 也又用　　　　　　　　　　　【○】求球外各形之一邊之定率 比例以定率　　　　　　　　　　　　　【○】之圓球徑一○○○○ ○○○○　　　　　　　　　　　　【為】為一率球外切四面體之一邊二四四九四八九七四為二率今 【一】所設之圓球徑一尺二寸為三率求 得四率二尺九寸三分九厘三豪八絲 七忽六　　　　　　　　　　　【率】防有餘即圓球外切四 面體之　　　　　　　　　　　【球】一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○外切四面體積一七三二○五○八○ 七為二率今所設之圓　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】